¿Cuál es la integral particular de la ecuación (D ^ 2 +1) Y = xcos (x)?

Answer 1

tenemos aquí

[matemáticas] (D ^ {2} +1) y = x.cos (x) [/ matemáticas], por lo que la ecuación auxiliar es [matemáticas] \ implica D ^ {2} + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = \ pm i \ implica ~ y_ {CF} = C_ {1} cos (x) + C_ {2} sin (x) [/ matemáticas]

Ahora al PI, [matemáticas] y_ {PI} = \ dfrac {x.cos (x)} {D ^ {2} +1} = \ dfrac {1} {2}. \ Dfrac {e ^ {- ix }} {D ^ {2} +1} .x + \ dfrac {1} {2}. \ Dfrac {e ^ {ix}} {D ^ {2} +1} .x [/ math]

Ahora usa esto …

[matemáticas] \ color {verde} {\ en caja {{y_ {PI} = \ frac {e ^ {ax} .V (x)} {f (D)} = e ^ {ax}. \ frac {V ( x)} {f (D + a)}}}} [/ matemáticas]

así que tendremos, [matemáticas] y_ {PI} = \ dfrac {1} {2}. \ dfrac {e ^ {- ix}} {(Di) ^ {2} +1} .x + \ dfrac { 1} {2}. \ Dfrac {e ^ {ix}} {(D + i) ^ {2} +1} .x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} .e ^ {- ix} \ dfrac {x} {D (D-2i)} + \ dfrac {1} {2} .e ^ {ix} \ dfrac {x} {D (D + 2i)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} .e ^ {- ix} \ left (\ dfrac {1} {D}. (D-2i) ^ {- 1} .x \ right) + \ dfrac {1} {2} .e ^ {ix} \ left (\ dfrac {1} {D}. (D + 2i) ^ {- 1} .x \ right) [/ math]

ahora expandiendo [matemáticas] (D-2i) ^ {- 1} ~ y ~ (D + 2i) ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} .e ^ {- ix} \ left [\ dfrac {1} {D} \ left (\ dfrac {i} {2} + \ dfrac {1} {4 } D \ right) x \ right] + \ dfrac {1} {2} .e ^ {ix} \ left [\ dfrac {1} {D} \ left (- \ dfrac {i} {2} + \ dfrac {1} {4} D \ right) x \ right] [/ math]

donde [matemáticas] D \ rightarrow \ dfrac {d} {dx} ~ y ~ \ dfrac {1} {D} \ rightarrow \ displaystyle \ int _ {} ^ {} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} .e ^ {- ix} \ left [\ dfrac {i} {4} .x ^ {2} + \ dfrac {x} {4} \ right] + \ dfrac {1} {2}. e ^ {ix} \ left [- \ dfrac {i} {4} x ^ {2} + \ dfrac {x} {4} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x ^ {2}} {4} \ left (\ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} \ right) + \ dfrac {x} {4 } \ left (\ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica y_ {PI} = \ dfrac {x ^ {2}} {4} sin (x) + \ dfrac {x} {4} cos (x) [/ matemáticas]

y la solución total es

[matemáticas] \ implica y (x) = y_ {CF} + y_ {PI} = C_ {1} cos (x) + C_ {2} sin (x) + \ dfrac {x ^ {2}} {4} sin (x) + \ dfrac {x} {4} cos (x) \ blacksquare [/ math]

Answer 2

[matemáticas] y_p = \ dfrac {1} {D ^ 2 + 1} x \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {D ^ 2 + 1} RP de xe ^ {ix} [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {(D + i) ^ 2 + 1} x [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {D ^ 2 + 2Di} x [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {2Di (1+ \ frac {D} {2i})} x [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {(1+ \ frac {D} {2i}) ^ {- 1}} {2Di} x [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {(1- \ frac {D} {2i} +….)} {2Di} x [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ dfrac {1} {2Di} (x + \ frac {i} {2}) [/ matemáticas]

= RP de [matemáticas] e ^ {ix} (\ frac {x ^ 2 + ix} {4i}) [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ dfrac {x ^ 2 \ sin x + x \ cos x} {4}} [/ math]