¿Alguien puede resolver esta ecuación diferencial, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = (y ^ 2-4) \ cos (xe ^ y) [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Alguien puede resolver esta ecuación diferencial, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = (y ^ 2−4) \ cos⁡ (xe ^ y) [/ matemáticas] ?

Te puedo dar dos soluciones: [matemáticas] y \ equiv 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ equiv -2 [/ matemáticas]. Pero aparte de eso, creo que lo mejor que podríamos hacer es aproximaciones numéricas, o tal vez soluciones en serie. El factor de [math] \ cos (xe ^ y) [/ math] hace que este DE sea altamente no lineal y … bueno, desordenado.

Aquí hay una colección de gráficos de solución numérica (producidos usando Runge-Kutta-4 con h = 0.01):

Observe los segmentos de línea tangente que cambian rápidamente en el campo de pendiente sobre el eje x . Por ejemplo, a lo largo de la línea horizontal [matemática] y = 1 [/ matemática], [matemática] (y ^ 2–4) \ cos (xe ^ y) = – 3 \ cos (ex) [/ matemática] oscila entre [ matemáticas] -3 [/ matemáticas] y 3 con un período de [matemáticas] 2 \ pi / e [/ matemáticas].

Visite los campos de pendiente y dirección para ver las ecuaciones diferenciales para explorar más

Answer 2

Veo que leí mal la pregunta. Es por eso que solicito a todos que [matemática] \ LaTeX [/ matemática] la parte matemática.

[matemáticas] \ text {Recuperar la integral exponencial …} \\\ mathrm {Ei} (x) = \ displaystyle – \ int _ {- x} ^ \ infty \ dfrac {e ^ {- t}} {t} \, \ mathrm {dt} \\\ mathrm {Ei} (- x) = \ displaystyle \ int _ {- x} ^ \ infty \ dfrac {e ^ {- t}} {t} \, \ mathrm {dt} \ tag *{}[/matemáticas]

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[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dy} {dx} = e ^ y (y ^ 2-4) \ cos x \\ \ implica \ dfrac {dy} {e ^ y (y ^ 2-4)} = \ cos x \, \ mathrm {dx} \\ \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {- y}} {(y + 2) (y-2)} \ mathrm {dy} = \ int \ cos \ , \ mathrm {dx} \\ \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {- y}} {4 (y-2)} \ mathrm {dy} – \ int \ dfrac {e ^ {- y}} {4 (y + 2)} \, \ mathrm {dy} = \ sen x + C \\\ text {Para la primera integral, sea} u = y-2 \ implica \ mathrm {du} = \ mathrm {dy } \\\ text {Para la segunda integral, let} v = y + 2 \ implica \ mathrm {dv} = \ mathrm {dy} \\ \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {- (u + 2 )}} {4u} \ mathrm {du} – \ int \ dfrac {e ^ {- (v-2)}} {4v} \ mathrm {dv} = \ sen x + C \\\ implica \ displaystyle \ dfrac {1} {4e ^ 2} \ int \ dfrac {e ^ {- u}} {u} \ mathrm {du} – \ dfrac {e ^ 2} {4} \ int \ dfrac {e ^ {- v} } {v} \ mathrm {dv} = \ sen x + C \\ \ implica \ dfrac {1} {4e ^ 2} \ mathrm {Ei} (- u) – \ dfrac {e ^ 2} {4} \ mathrm {Ei} (- v) = \ sen x + C \\ \ implica \ boxed {\ dfrac {1} {4e ^ {2}} \ mathrm {Ei} (2-y) – \ dfrac {e ^ 2 } {4} \ mathrm {Ei} (- y-2) = \ sen x + C} \ tag * {} [/ math]