Se nos da la ecuación [matemáticas] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemáticas] y queremos encontrar todas las soluciones enteras [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas]. La ecuación se llama lineal porque todas las incógnitas [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] aparecen con exponentes iguales a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Además, se llama ecuación de diofantina porque estamos buscando soluciones enteras.
¿La ecuación parece familiar? Puede reconocerlo como la ecuación de un plano en [math] 3 [/ math] -space [math] \ R ^ 3 [/ math]. Si nuestra ecuación diofantina tiene soluciones enteras [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas], vivirán (se encontrarán) en este plano y se denotarán con [matemáticas] 3 [/ matemáticas] -tupla [matemáticas] (x, y , z) [/ matemáticas].
Ahora exploraremos las posibles soluciones. Para que esta solución sea comprensible para la mayor cantidad de personas posible, los conceptos y operaciones algo arcanos de la aritmética modular no se utilizarán explícitamente, así que tengan paciencia conmigo.
[matemáticas] 6x + 10y + 15z = 23 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]
- Cómo resolver la ecuación lineal de diofantina [matemática] 3x + 6y + 5z = 7 [/ matemática]
- Cómo usar completar el cuadrado, en general y particularmente para encontrar el vértice, para una parábola / cuadrática con coeficiente negativo x ^ 2
- Cómo determinar la solución restringida a la ecuación de Laplace
- Cómo encontrar las ecuaciones para todas las asíntotas verticales de una función tangente y cotangente
- ¿Podemos aplicar las ecuaciones de ‘Física normal’ (como Masa = Peso / go s = ut + 1 / 2at ^ 2) a las ecuaciones de física cuántica?
[matemáticas] 1x + 5x + 5 (2y + 3z) = 5 (4) + 3 [/ matemáticas] después de reagruparse en múltiplos de [matemáticas] 5 [/ matemáticas],
[matemática] x = 5 (4 -x – 2y – 3z) + 3 = 5k + 3 [/ matemática] con [matemática] k \ in \ Z [/ matemática]
Haciendo lo mismo para obtener [matemáticas] y [/ matemáticas],
[matemáticas] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 (2x + 5z) + 3 (3y) + 1y = 3 (7) + 2 [/ matemáticas] después de reagruparse en múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas],
[matemática] y = 3 (7 – 2x – 3y -5z) + 2 = 3m + 2 [/ matemática] con [matemática] m \ in \ Z [/ matemática]
Por último, para obtener [matemáticas] z [/ matemáticas],
[matemáticas] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 (3x + 5y) + 2 (7z) + 1z = 2 (11) + 1 [/ matemáticas] después de reagruparse en múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas],
[matemática] z = 2 (11 – 3x – 5y -7z) + 1 [/ matemática]
[matemática] z = 2n + 1 [/ matemática] con [matemática] n \ in \ Z [/ matemática]
En resumen, hasta ahora hemos determinado,
[matemática] x = 5k + 3, y = 3m + 2, z = 2n + 1, \ para k, m, n \ in \ Z \ tag * {} [/ matemática]
Todavía tenemos que determinar la relación entre [matemáticas] k, m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas], enteros. Para ese fin, sustituimos las expresiones por [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] en [matemáticas] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemáticas].
[matemática] 6 (5k +3) + 10 (3m + 2) + 15 (2n + 1) = 23 [/ matemática]
[matemáticas] 30 (k + m + n) + 53 = 23 [/ matemáticas]
[matemáticas] 30 (k + m + n) = -30 [/ matemáticas]
[matemáticas] k + m + n = -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] k = – (1 + m + n) [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemática] x = -2 – 5m – 5n \ etiqueta * {} [/ matemática]
[matemáticas] y = 2 + 3 m \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = 1 + 2n \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemática] (x, y, z) = (-2, 2, 1) + m (-5, 3, 0) + n (-5, 0, 2) [/ matemática] donde [matemática] m, n [/ math] son enteros arbitrarios. Las soluciones enteras son un subconjunto infinito de puntos en el plano infinito [matemática] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemática] que se muestra a continuación.
