En primer lugar, ¿qué son las líneas oblicuas?
Cuando hablamos de un par de líneas, mencionamos su relación en función de si se encuentran en algún momento o no. Por lo tanto, obtenemos las siguientes relaciones entre líneas:
- Líneas secantes
- Lineas perpendiculares
- Lineas paralelas
- Líneas torcidas
Por lo tanto, puede ver que los primeros tres ocurren cuando las dos líneas están en 2D (2 planos). Las líneas oblicuas aparecen en 3D (3 planos). Como puede ver arriba, los bordes de un cubo tienen 4 líneas / bordes oblicuos. Por ejemplo: el lado AB de un cubo tendrá 4 líneas / bordes oblicuos, es decir, cuatro bordes del cubo no son paralelos ni perpendiculares al borde AB.
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Ahora, ¿cuál es la distancia más corta entre dos líneas oblicuas? Al igual que dos líneas, la distancia más corta entre dos líneas oblicuas es la longitud de la línea perpendicular dibujada entre las dos. Por lo tanto, si [matemática] l_1 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] son dos líneas oblicuas, entonces [matemática] l_3 [/ matemática] es una línea dibujada de manera tal que [matemática] l_3 \ perp l_1 [/ matemática] y [matemáticas] l_3 \ perp l_2 [/ matemáticas]
La longitud de la línea [matemática] l_3 = d [/ matemática] será la distancia más corta entre las líneas [matemática] l_1 [/ matemática] y [matemática] l_2. [/ Matemática]
Ahora, ¿cuál es la ecuación de la línea [matemáticas] l_3 [/ matemáticas].
Para obtener la ecuación solo necesita seguir los pasos:
- Ecuación equivalente de [matemática] l_1 [/ matemática] a [matemática] t [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] a [matemática] s. [/ Matemática]
- Por lo tanto, encuentre las coordenadas de intersección de [matemáticas] l_3 [/ matemáticas] con [matemáticas] l_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] l_2 [/ matemáticas] en [matemáticas] t [/ matemáticas] y [matemáticas] s [/ matemáticas]
- Como [math] l_3 \ perp l_1 [/ math] y [math] l_3 \ perp l_2 [/ math] los productos de punto equivalen a 0. Por lo tanto, puede encontrar [math] t [/ math] y [math] s [/ matemáticas]
- Conecte [math] t [/ math] y [math] s [/ math] para encontrar las coordenadas reales de los puntos de intersección.
- Use la fórmula de distancia [matemáticas] D = \ sqrt {(x_b-x_a) ^ 2 + (y_b-y_a) ^ 2 + (z_b-z_a) ^ 2} [/ matemáticas] para encontrar la distancia entre las líneas oblicuas [matemáticas] l_1 [/ math] y [math] l_2. [/ math]
Estoy tomando este ejemplo de otro sitio web, ya que no quiero estropear el cálculo.
Usando la imagen de arriba, deje que la ecuación de
[matemáticas] l_1: x = -y + 2 = -z + 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] l_2: x-2 = -y + 1 = z + 1 [/ matemáticas]
Deberíamos encontrar la longitud de [math] {\ overline {l_3}} [/ math], que es el segmento de línea que se encuentra perpendicularmente con [math] l_1 [/ math] en A y [math] l_2 [/ math] en si
Al equiparar la ecuación de [math] l_1 [/ math] con [math] t [/ math] (una variable, por ejemplo: algún número real) da
[matemáticas] x = -y + 2 = -z + 2 = t [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Flecha derecha x = t, y = -t + 2, z = -t + 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ por lo tanto A (x, y, z) 🙁 t, -t + 2, -t + 2) [/ matemática]
Igualmente, equiparar [math] l_2 [/ math] con [math] s [/ math] (una variable, por ejemplo: algún número real)
[matemática] B (x, y, z) 🙁 s + 2, -s + 1, s-1) [/ matemática]
Así tienes las coordenadas de A y B.
[matemáticas] {\ overrightarrow {AB}} = (s + 2, -s + 1, s-1) – (t, -t + 2, -t + 2) = (s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) [/ matemáticas]
Deje que [math] {\ overrightarrow {d_1}} [/ math] sea el vector de dirección de [math] l_1 [/ math] y [math] {\ overrightarrow {d_2}} [/ math] sea el de [math] l_2 [/ matemáticas]
Entonces [math] {\ overrightarrow {d_1}} 🙁 1, -1, -1) [/ math] y [math] {\ overrightarrow {d_2}} 🙁 1, -1,1) [/ math]. También tenemos [math] l_3 \ perp l_1 [/ math] y [math] l_3 \ perp l_2 [/ math]
[matemática] \ Rightarrow {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {d_1}} = {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {d_2}} = 0 [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {d_1}} = (s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) \ cdot (1, -1, -1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow (s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) \ cdot (1, -1, -1) = (s-t + 2) – (- s + t -1) – (s + t-3) = s-3t + 6 = 0 [/ matemáticas]
Del mismo modo, [matemáticas] {\ overrightarrow {AB}} \ cdot {\ overrightarrow {d_2}} = (s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) \ cdot (1, -1, 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow (s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) \ cdot (1, -1,1) = (s-t + 2) – (- s + t- 1) + (s + t-3) = 3s-t = 0. [/ Matemática]
- [matemáticas] s-3t + 6 = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] 3s-t = 0 [/ matemáticas]
Al resolver la ecuación anterior, obtenemos [matemáticas] t = \ frac {9} {4}, s = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto {\ overrightarrow {AB}} 🙁 s-t + 2, -s + t-1, s + t-3) = (\ frac {1} {2}, \ frac {1} { 2}, 0) [/ matemáticas]
Luego, la distancia entre [matemáticas] l_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] l_2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] D = \ left | {\ overrightarrow {AB}} \ right | = \ sqrt {(x_b-x_a) ^ 2 + (y_b-y_a) ^ 2 + (z_b-z_a) ^ 2} [/ math]
Esta es tu ecuación requerida.
Ahora encuentre [math] D [/ math]
[matemáticas] D = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {(\ frac {1} {2}) ^ 2 + (\ frac {1} {2}) ^ 2 + 0} = \ sqrt {\ frac { 2} {4}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]
Por lo tanto, tienes la distancia.
¡¡Feliz aprendizaje!!