Cómo producir una ecuación cuadrática a partir de 3 puntos usando una matriz, o ¿hay un método mejor?

Answer 1

Sí, es un sistema lineal que se puede expresar como una ecuación matricial.

Digamos que nuestra cuadrática es

[matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

y nuestros puntos son [matemática] (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) [/ matemática]

[matemáticas] y_1 = a x_1 ^ 2 + b x_1 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] y_2 = a x_2 ^ 2 + b x_2 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] y_3 = a x_3 ^ 2 + b x_3 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pmatrix {y_1 \\ y_2 \\ y_3} = \ pmatrix {x_1 ^ 2 & x_1 & 1 \\ x_2 ^ 2 & x_2 & 1 \\ x_3 ^ 2 & x_3 & 1} \ pmatrix {a \\ b \\ c} [/ math]

Obtenemos nuestros coeficientes de solución invirtiendo la matriz:

[matemáticas] \ pmatrix {a \\ b \\ c} = \ pmatrix {x_1 ^ 2 & x_1 & 1 \\ x_2 ^ 2 & x_2 & 1 \\ x_3 ^ 2 & x_3 & 1} ^ {- 1} \ pmatrix {y_1 \\ y_2 \\ y_3} [/ math]

Por lo general, para un problema de tarea es más fácil resolver las ecuaciones simultáneas mediante eliminaciones por sustitución en lugar de configurar el sistema matricial.

Answer 2

y = ax ^ 2 + bx + c es la ecuación que desea que satisfagan sus tres valores de muestra de (x, y), por lo tanto, conecte las x e y, y obtendrá tres ecuaciones en las tres incógnitas a, b y c

Answer 3

¡Usa la interpolación de Lagrange!

Deje que sus puntos sean [matemática] (x_1, y_1), (x_2, y_2) [/ matemática] y [matemática] (x_3, y_3). [/ Matemática]

Entonces, la ecuación cuadrática que satisface estos puntos es,

[matemáticas] F (x) = y_1 \ frac {(x-x_2) (x-x_3)} {(x_1-x_2) (x_1-x_3)} + y_2 \ frac {(x-x_1) (x-x_3) } {(x_2-x_1) (x_2-x_3)} + y_3 \ frac {(x-x_1) (x-x_2)} {(x_3-x_1) (x_3-x_2)} [/ math]

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Ahora, para un poco de intuición sobre cómo funciona esto.

Para [matemática] F (x_1), [/ matemática] el segundo y tercer término desaparecen y el primer término se convierte en

[matemáticas] F (x_1) = y_1 \ dfrac {(x_1-x_2) (x_1-x_3)} {(x_1-x_2) (x_1-x_3)} = \ boxed {y_1} \ tag * {} [/ math]

Del mismo modo, esta fórmula funciona para los tres puntos de datos.

Answer 4

Use esto como ilustración.

Encuentre la ecuación de la parábola que pasa por tres puntos: solucionador paso a paso

Esto se suma a las respuestas generales ya dadas.