La ecuación para una onda plana compleja es
[matemáticas] ψ = e ^ {i (kx-ωt)} [/ matemáticas],
donde [math] k [/ math] es el número de onda y se define como [math] k = \ frac {2π} {λ} [/ math] donde [math] λ [/ math] es la longitud de onda y [math] ω [/ math] es la frecuencia angular. La relación entre la frecuencia angular y la frecuencia normal [matemática] f [/ matemática] medida en hercios es [matemática] ω = 2πf [/ matemática].
En la mecánica cuántica, la energía y el impulso se promueven a los operadores, lo que significa que pueden actuar u “operar” en un estado. El operador de energía es
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[matemáticas] E = i \ hbar \ dfrac {\ partial} {\ partial t} [/ math].
Aplicando esto a [matemáticas] ψ [/ matemáticas] da
[matemáticas] Eψ = i \ hbar * (- iω) e ^ {i (kx-ωt)} = \ hbar ωψ [/ matemáticas].
Al conectar [matemáticas] 2πf [/ matemáticas] para [matemáticas] ω [/ matemáticas] se obtiene
[matemáticas] Eψ = 2π \ hbar fψ [/ matemáticas].
[matemática] h = 2π \ hbar [/ matemática] porque [matemática] \ hbar [/ matemática] se define como la constante [matemática] h [/ matemática] de Planck sobre dos pi, así que sustituye esto en lo que te queda
[matemáticas] Eψ = hfψ [/ matemáticas]
o
[matemáticas] E = hf [/ matemáticas] que es la energía de un fotón!