¿Para qué valor de k la línea 4x + 3y + k es tangente al círculo con la ecuación 2x ​​^ 2 + 2y ^ 2-5x = 0?

Answer 1

Wow, ha pasado un tiempo desde que hice cualquier geometría de coordenadas, así que intentemos. Compare con la forma estándar para la ecuación de un círculo.

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemáticas]

Esto muestra [matemática] g = -5/4 [/ matemática], [matemática] f = c = 0 [/ matemática] en comparación.

Este círculo tiene centro en

[matemáticas] (- g, -f) = (5 / 4,0) [/ matemáticas] y radio

[matemáticas] r = \ sqrt {g ^ 2 + f ^ 2 – c} = 5/4 [/ matemáticas]

La tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto y está a una distancia igual al radio desde el centro, entonces (usando la fórmula para la distancia de un punto desde una línea)

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {4 \ veces 5/4 + 3 \ veces 0 + k} {\ sqrt {4 ^ 2 + 3 ^ 2}} = \ pm \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

o,

[matemáticas] \ displaystyle k = 5/4, -45/4 [/ matemáticas]

Answer 2

Tome su línea como 4x + 3y = k “+” debe ser “=”

2x² + 2 (k-4x) / 3–5x = 0

6x² + 2k-8x-15x_ = 0

para que la línea sea tangente al círculo, la ecuación debe tener dos raíces reales iguales → b² = 4ac

(-23k) ² = 4 * 6 * 2k

23 * 23k²-48k = 0

k {23²k-48} = 0

k = 0 o k = 48 / 23² = 48/529

Answer 3

* A2A

[matemáticas] \ text {Estoy considerando} 4x + 3y + k = 0 \\\ text {Desde aquí resolvemos para} y \\ y = – \ dfrac13 (4x + k) \\\ text {Ahora configurando esto en la otra ecuación da …} \\\ begin {align} 2x ^ 2 + 2y ^ 2-5x & = 0 \\ 2x ^ 2 + \ dfrac29 (4x + k) ^ 2-5x & = 0 \\ 18x ^ 2 + 2 (4x + k) ^ 2-45x & = 0 \\ 18x ^ 2 + 2 (16x ^ 2 + 8kx + k ^ 2) -45x & = 0 \\ 50x ^ 2 + (16k-45) x + 2k ^ 2 & = 0 \ end {align} \\\ text {Dado que la línea debe ser tangente a la curva, requerimos} \\ (16k-45) ^ 2-4 (50) (2k ^ 2) = 0 \\ 256k ^ 2-1440k + 2025-400k ^ 2 = 0 \\ 144k ^ 2 + 1440k-2025 = 0 \\ k = \ boxed {\ dfrac {45} 4, – \ dfrac54} \ tag * {} [/ math]