Dado que la ecuación de una línea de un vector no es única, ¿cómo verifico si ambas líneas son iguales?

Answer 1

Primero, escriba ambas líneas en forma paramétrica, es decir, [matemáticas] L_1 = (a_1, a_2, a_3) + (v_1, v_2, v_3) s [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 = (b_1, b_2, b_3) + ( w_1, w_2, w_3) t [/ matemáticas]

Ahora reste un punto de partida del otro (es decir, [math] (a_1 – b_1, a_2 – b_2, a_3, – b_3) [/ math] y vea si el resultado es un múltiplo escalar de ambos vectores. Si es así, entonces es es posible reescribir [matemática] L_1 [/ matemática] como [matemática] L_2 [/ matemática] y viceversa, por lo que son la misma línea. Si no, entonces no son la misma línea.

Por ejemplo, suponga que [matemáticas] L_1 = (1, 1, 5) + (1, 2, 3) s [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 = (11, 21, 35) + (-3, -6, -9) t [/ matemáticas].

Restar los dos puntos nos da [matemáticas] (- 10, -20, -30) [/ matemáticas], que es [matemáticas] -10 * (1,2,3) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac { 10} {3} * (- 3, -6, -9) [/ matemáticas]. Entonces, estas dos líneas son, de hecho, lo mismo. Puede ver que esto es cierto configurando [math] s = -3t + 10 [/ math].

Answer 2

La forma más fácil que veo de verificar su congruencia es establecer sus ecuaciones paramétricas iguales entre sí. Esto le permitirá ver si comparten un punto común y un vector de dirección. Tenga en cuenta que si los vectores de dirección no son idénticos para cada línea, aún pueden ser los mismos: uno podría ser un múltiplo escalar del otro, lo que aún cumple los requisitos para ser coincidente.

Digamos que tiene dos líneas de la forma:

r = (1,2,3) + t (1,2,3)

Y

s = (2,4,6) + h (2,4,6)

Donde t y h son valores escalares en el ámbito de los números reales.

Observe también que el vector de dirección de la línea s es un múltiplo escalar de r. Puedes factorizar un 2 y observar que 2h = t;

s = (2,4,6) + 2h (1,2,3)

Sin embargo, hacer esto no afectará la forma en que obtenemos nuestras ecuaciones paramétricas. Lo que esto hace es decirnos que las líneas son paralelas. Simplemente todavía tenemos que descubrir si son coincidentes.

Ahora que tenemos nuestras ecuaciones en forma de vector, vamos a encontrarlas en forma paramétrica. Para hacer esto, simplemente expanda el escalar asociado con el vector de dirección y luego agregue el punto de origen. Esto se hace individualmente para cada componente (x, y, z). Al igual que:

x1 = 1 + t

y1 = 2 + 2t

z1 = 3 + 3t

Y

x2 = 2 + 2h

y2 = 4 + 4h

z2 = 6 + 6h

Ahora que sabemos esto, podemos insertar cualquier valor conocido de un componente en una línea dada en el componente correspondiente de la otra ecuación para ver si son paralelas o coincidentes. Estas líneas son coincidentes pero no puedo mostrar las matemáticas porque mi clase económica está por comenzar. Si obtienes algo como 0 = 0, entonces son coincidentes, si obtienes algo como 1 = 0, entonces rompiste las matemáticas y son paralelas.

Answer 3

Una línea se define como un punto y una dirección, es decir, un vector.

Primero, pensemos en la dirección. El vector (2, 1, 1) y el vector (4, 2, 2) tienen la misma dirección. También lo hace (8, 4, 4). En general, dos vectores tienen la misma dirección si son proporcionales, es decir, a * (v1, v2, v3) = (w1, w2, w3).

Una vez que haya demostrado que su dirección es la misma, hay dos posibilidades: o son la misma línea, en cuyo caso comparten todos los puntos, o no comparten ninguno, en cuyo caso son paralelas.

Para verificar si son iguales o no, debe verificar si un punto de R es igual a un punto de S, lo que se puede hacer al conectar uno en la ecuación del otro y ver si el resultado tiene sentido.