¿Es posible resolver una ecuación lineal cuando el número de variables desconocidas es mayor que las variables conocidas?

Answer 1

Gracias por el A2A, Pop Popi.

¿Quiere decir que el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones linealmente independientes? De lo contrario, su pregunta no tiene sentido porque no se conocen variables al principio …

Sí, es posible. Simplemente significa que tendremos que expresar algunas variables en términos de algunas variables “libres” (otra palabra es parámetros). Por ejemplo, si tuviera que resolver la ecuación [matemáticas] x – 2y = 6 [/ matemáticas], podría expresar la solución de dos maneras: [matemáticas] x = 2y + 6 [/ matemáticas] o [matemáticas] y = \ frac {x} {2} – 3 [/ matemáticas]. En forma vectorizada, [matemáticas] = y \: + \: [/ matemáticas] o [matemáticas] \: = \: x \: – [/ math], donde el primer caso usa [math] y [/ math] como parámetro / variable libre y el segundo usa [math] x [/ math] como parámetro / variable libre.

Podemos extender esto a muchas variables. Digamos que tenemos 3 ecuaciones independientes y 4 variables [matemáticas] w, x, y, z [/ matemáticas]. Entonces podemos establecer la solución en términos de una sola variable; deja que esto sea z. Entonces [matemática] w = w (z) [/ matemática], [matemática] x = x (z) [/ matemática], [matemática] y = y (z) [/ matemática], [matemática] z = z [ / math] se considera una solución para el sistema de ecuaciones. Tenga en cuenta que esta solución constituye una línea, porque solo hay un parámetro libre. Si hubiera 5 variables [matemáticas] v, w, x, y, z [/ matemáticas] y aún 3 ecuaciones, entonces habría dos variables libres (que sean y y z, aunque este no siempre sea el caso) : [matemática] v = v (y, z) [/ matemática], [matemática] w = w (y, z) [/ matemática], [matemática] x = x (y, z) [/ matemática], [ matemáticas] y = y [/ matemáticas], [matemáticas] z = z [/ matemáticas]. En este caso, el conjunto de solución comprende un plano, porque hay dos parámetros libres que terminan formando una figura bidimensional.

Si tiene alguna pregunta, sientase con libertad de preguntar; algo de esto puede estar más allá del alcance de un curso básico de álgebra y puede profundizar en álgebra lineal.

Answer 2

Voy a responder esta pregunta tal como me la pidieron. Las “variables conocidas” son, supongo, símbolos para los que ya conocemos valores numéricos, a los que generalmente nos referimos como constantes.

Una ecuación lineal es una relación única entre las variables. Si contiene solo una variable, la solución es un punto y la solución es un valor único para la variable, que se puede encontrar simplificando la ecuación hasta que la variable esté sola en el lado izquierdo del signo igual.

Si hay más de una variable en la ecuación, pero no hay un número infinito de variables, entonces deje que el número de variables sea n + 1 para alguna n> 0. Asumiré que la ecuación se ha simplificado hasta el punto de que una variable está a la izquierda del signo igual, y todas las demás variables ocurren una vez en el lado derecho del signo igual con un coeficiente distinto de cero, ya que es sencillo simplificar la ecuación en esta forma.

En este caso, las soluciones a la ecuación son un subespacio lineal de n + 1 dimensiones, y para cualquier combinación de valores para las variables de la derecha, hay exactamente un valor de la variable de la izquierda que resuelve la ecuación. La ecuación en esta forma es una expresión tan sucinta del conjunto de puntos que resuelve la ecuación como sea posible, por lo que ES la solución general a la ecuación.

Ahora, en respuesta a su pregunta, observe que todas estas afirmaciones son verdaderas sin importar cuántas constantes hay en la ecuación, por lo que, en particular, son verdaderas cuando hay más variables que constantes.

En el caso de que haya un número infinito de variables, el proceso descrito anteriormente encuentra varios problemas. Primero, la capacidad de elegir una variable del conjunto infinito de variables para ser la que está a la izquierda del signo igual es equivalente al Axioma de Elección. Incluso suponiendo que Axiom se mantenga, no es evidente para mí que habrá una serie finita de transformaciones simplificadoras que reducirán la ecuación a la forma simple descrita. Incluso si se puede reducir en forma, no se garantiza que la suma infinita en el lado derecho tenga un valor finito para cada combinación de valores para las variables en el lado derecho, por lo que no creo que la ecuación en esta forma constituya un valor “solución” general a la ecuación; o si lo hace, no es útil en la práctica. Hipotetizo, a partir de estas consideraciones, que en el caso de un número infinito de variables, incluso una clase de relaciones tan simple como todas las relaciones lineales no tiene una solución general cerrada.

Answer 3

Es posible que la solución exista (o incluso que existan muchas soluciones) si las ecuaciones no se contradicen entre sí).

Si sabe qué sonó una matriz, vea el teorema de Kronecker-Capelli. Responde tu pregunta de manera más general.

Answer 4

No, solo con parámetros