Gracias por el A2A!
No puedo decir si se supone que debe haber un conjunto de paréntesis alrededor de [math] x + y [/ math] o no, así que manejaré ambos casos.
Comencemos con el caso [math] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1} {x} + y [/ math].
Inmediatamente, podemos restar [math] \ dfrac {1} {x} [/ math] de ambos lados. Eso significa que nos quedamos con [math] \ dfrac {1} {y} = y [/ math], que se puede convertir en [math] y ^ 2 = 1 [/ math]. Ahora, [math] y ^ 2 = 1 [/ math] tiene dos soluciones, [math] y = \ pm1 [/ math]. Esto significa que estamos restringidos a dos opciones para [matemáticas] y [/ matemáticas].
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Para nuestras elecciones de [math] x [/ math], debemos considerar el dominio de [math] \ dfrac {1} {x} [/ math], que es [math] (- ∞, 0) U (0, ∞) [/ matemáticas]. El dominio sugiere que tenemos un número casi infinito de opciones para [math] x [/ math].
En combinación con nuestras dos opciones para [matemáticas] y [/ matemáticas], tenemos un número casi infinito de pares ordenados [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] que satisfacen [matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1} {x} + y [/ math].
Ahora, consideremos el caso [math] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1} {x + y} [/ math].
Aquí, debemos combinar [math] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} [/ math] para obtener lo siguiente.
[matemáticas] \ dfrac {x + y} {xy} = \ dfrac {1} {x + y} [/ matemáticas]
Multiplique [matemática] x + y [/ matemática] en ambos lados, luego reste ambos lados por 1.
[matemáticas] \ dfrac {(x + y) ^ 2} {xy} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {(x + y) ^ 2} {xy} -1 = 0 [/ matemáticas]
Ahora, intentemos obtener algo manejable aquí multiplicando ambos lados por [math] xy [/ math] y usando FOIL.
[matemáticas] (x + y) ^ 2-xy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + 2xy + y ^ 2-xy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ dfrac {-x \ pm \ sqrt {x ^ 2-4x ^ 2}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ dfrac {-x \ pm \ sqrt {-3x ^ 2}} {2} [/ matemáticas]
A partir de aquí, debería ser fácil ver que [matemática] y [/ matemática] involucrará números complejos excepto el caso donde [matemática] x = 0 [/ matemática], lo que hace que [matemática] y = 0 [/ matemática]. Sin embargo, esas opciones para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] no están permitidas en nuestra ecuación original [matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1} {x + y} [/ math]. Esto significa que no hay pares ordenados [matemática] (x, y) \ in \ R [/ matemática] que satisfaga [matemática] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1 } {x + y} [/ math].
