¿Realmente puedes obtener que [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] de la ecuación [math] \ mathrm {e} ^ {i \ pi} = -1 [/ math], usando solo álgebra?

Answer 1

A diferencia de algunos de los primeros en responder, prefiero responder a la pregunta que ha hecho, sin desviarme de una pregunta diferente que desearía que hubiera hecho. Esencialmente, estás haciendo una pregunta matemática muy normal: “¿Son estas dos propiedades de [matemáticas] i [/ matemáticas] lógicamente equivalentes?” Esta no es una pregunta confusa ni una pregunta para novatos.

Una forma de abordar su pregunta es: si todo lo que tenemos para una definición de [matemáticas] i [/ matemáticas] es la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas], podríamos suponer que el símbolo [math] i [/ math] representa un número no real desconocido; ¿podemos inferir que el cuadrado de este número desconocido es [matemáticas] -1 [/ matemáticas]?

Entonces, una reformulación de su pregunta es: “Supongamos que [math] i = a + b \ sqrt {-1} [/ math]; ¿podemos demostrar que [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]? ”Esto nos da

[matemáticas] -1 = e ^ {(a + b \ sqrt {-1}) \ pi} = e ^ {a \ pi} [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {b \ pi \ sqrt {-1} } [/matemáticas]

Ahora, los cálculos habituales mostrarán que [matemática] e ^ {b \ pi \ sqrt {-1}} = \ cos (b \ pi) + \ sqrt {-1} \ sin (b \ pi) [/ math] y que esta cantidad, como el LHS [matemática] -1 [/ matemática], tiene un valor absoluto [matemática] 1 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] e ^ {a \ pi} [/ math] también debe tener absval [math] 1 [/ math], lo que implica que [math] a = 0 [/ math].

Entonces, ahora tenemos

[matemáticas] -1 = \ cos (b \ pi) + \ sqrt {-1} \ sin (b \ pi) [/ matemáticas]

Pero para que ambas partes tengan un valor real, [math] \ sin () [/ math] debe desaparecer, por lo que [math] b [/ math] debe ser un número entero [math] n [/ math]:

[matemáticas] -1 = e ^ {n \ pi \ sqrt {-1}} [/ matemáticas].

Dado que esta relación es verdadera para todos los enteros impares [matemática] n [/ matemática], no podemos probar que [matemática] n = 1 [/ matemática], como nos gustaría hacer. Finalmente, la respuesta a su pregunta es “No”, pero solo porque la fórmula de Euler no restringe el valor de [math] i [/ math] con suficiente fuerza.

Answer 2

[matemáticas] i = \ sqrt {-1} [/ matemáticas] es una definición. Incluso podría decir que es una convención de notación.

Podríamos decir [matemáticas] e ^ {\ pi \ sqrt {-1}} = -1 [/ matemáticas] y sería igual de cierto y significaría exactamente lo mismo que [matemáticas] e ^ {\ pi i} = -1. [/ Matemáticas]

Probar [matemáticas] e ^ {\ pi \ sqrt {-1}} = -1 [/ matemáticas] usando solo álgebra básica es un poco más complicado.

[matemáticas] e = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1 + \ frac 1n) ^ n \\ e ^ x = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1 + \ frac 1n) ^ nx = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1 + \ frac xn) ^ n \\ e ^ {\ pi i} = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1 + \ frac {\ pi i} n) ^ n [/ matemáticas]

Ahora comience con n = 1,2,3

Y entonces sucede algo mágico …

No puedo llevarte a n = infinito sin cálculo. Sin embargo, me gustaría sugerir que a medida que n se hace más grande [matemáticas] (1+ \ frac {ix} {n}) ^ n [/ matemáticas] pistas cada vez más cerca del círculo de la unidad. La longitud de la suma de esos segmentos es siempre algo cercana a ix, y es exactamente ix cuando n se acerca al infinito. Si [math] x = \ pi, (1+ \ frac {\ pi i} {n}) ^ n [/ math] se acerca a ese punto exactamente a la mitad del círculo.

Answer 3

No puede obtener [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] de [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math]. Esto se debe a que [math] e ^ {3i \ pi} = -1 [/ math] pero [math] 3i \ neq \ sqrt {-1} [/ math]. Como [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] no es la única solución para [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math], no hay forma de que pueda derivarse de solo ese.

Answer 4

Sí tu puedes. Pero necesita saber la expansión de [math] e ^ x [/ math], [math] cosx [/ math] y [math] sinx [/ math].

También es un poco basado en la intuición. Intenta concentrarte y definitivamente entenderás lo que estoy tratando de decir.

Antes de comenzar, las expansiones para [math] e ^ x [/ math], [math] cosx [/ math] y [math] sinx [/ math] son,

[matemáticas] e ^ x = 1 + \ frac {x} {1!} + \ frac {x ^ {2}} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + ……. [/ Matemáticas]

[matemáticas] cosx = 1- \ frac {x ^ {2}} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} + \ frac {x ^ 8} {8!} – ……. [/ Matemáticas]

[matemáticas] sinx = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} + …… .. [/ matemáticas ]

Durante algún tiempo llamaremos a [math] i [/ math] como [math] \ alpha [/ math].

Ahora comenzamos.

Cuando pone [math] x = \ alpha \ pi [/ math] en la expansión de [math] e ^ x [/ math] obtenemos,

[matemáticas] e ^ {\ alpha \ pi} = 1+ \ frac {\ alpha \ pi} {1!} + \ frac {\ alpha ^ {2} \ pi ^ {2}} {2!} + \ frac {\ alpha ^ {3} \ pi ^ {3}} {3!} +… .. = – 1 [/ math] (que ya asume que es cierto)

Ahora aquí viene un poco de intuición. Lo que pensé fue que debería intentar combinar los términos de [math] 1!, 3!, 5! [/ Math] juntos porque los he visto en la expansión de [math] sinx [/ math]. Del mismo modo, pensé que debería combinar los términos de [math] 2!, 4!, 6! [/ Math] juntos porque los he visto en la expansión de [math] cosx [/ math].

Así que ahora tienes dos paréntesis con muchos términos.

[matemáticas] \ left (1+ \ frac {\ alpha ^ 2 \ pi ^ 2} {2!} + \ frac {\ alpha ^ 4 \ pi ^ 4} {4!} + \ frac {\ alpha ^ 6 \ pi ^ 6} {6!} +… .. \ right) + \ alpha \ left (\ frac {\ pi} {1!} + \ frac {\ alpha ^ 2 \ pi ^ 3} {3!} + \ frac {\ alpha ^ 4 \ pi ^ 5} {5!} + ……. \ right) = – 1 [/ matemáticas]

Ahora pensé que si solo [math] \ alpha ^ 2 [/ math] fuera igual a [math] -1 [/ math], la vida hubiera sido tan buena. [matemática] \ alpha ^ 4 [/ matemática] habría sido igual a [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] \ alpha ^ 6 [/ matemática] habría sido igual a [matemática] -1 [/ matemática ] ¡¡¡¡Y qué no!!!! ¡Tendríamos toda la expansión de [math] cosx [/ math] en el corchete izquierdo y toda la expansión de [math] sinx [/ math] en el corchete derecho con [math] x = \ pi [/ math] !! !

La ecuación se convertiría entonces,

[matemáticas] cos \ pi + \ alpha sin \ pi = -1 [/ matemáticas] que es absolutamente cierto !!!!! Porque [matemática] cos \ pi = -1 [/ matemática] y [matemática] sin \ pi = 0 [/ matemática] y, por lo tanto, la ecuación definitivamente se mantendría… .. PERO SÓLO SI [matemática] \ alpha ^ 2 [/ matemática ] sería igual a [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. De ahora en adelante es obvio que [math] \ alpha ^ 2 [/ math] tiene que ser igual a [math] -1 [/ math]. Y a eso lo llamamos [math] \ alpha [/ math] como [math] i [/ math] (IOTA).

Espero que te hayas quedado conmigo todo el tiempo.

Answer 5

[math] i [/ math] es el nombre de [math] \ sqrt {-1}. [/ math] No lo derivamos de nada, solo aceptamos usar esta abreviatura.

Creo que el OP significa algo más como:

Resuelve [matemáticas] e ^ {\ pi z} = -1 [/ matemáticas] usando álgebra.

Observaríamos [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para el entero [math] k [/ math] y [math] -1 = e ^ {i \ pi} [/ math] y obtener

[matemáticas] e ^ {\ pi z} = e ^ {2 \ pi ki} e ^ {i \ pi} = e ^ {i \ pi (2 k + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi z = i \ pi (2 k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = i (2 k + 1) [/ matemáticas]

y [math] z = i = \ sqrt {-1} [/ math] es una de las soluciones.

Pero eso no es lo que busca el OP. Usamos la identidad de Euler (dos veces realmente, [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas] es la identidad de Euler para el poder [matemáticas] 2k [/ matemáticas]); No creo que el OP haya querido permitir eso.

Entonces la pregunta se reduce a si podemos derivar la identidad de Euler del álgebra, y la respuesta es no. Pero podemos hacerlo aproximadamente.

La intuición detrás de la identidad de Euler proviene de considerar astillas, números complejos con una parte real de 1 y una pequeña parte imaginaria diminuta, [matemáticas] \ epsilon. [/ Matemáticas] Estas se relacionan con los poderes imaginarios de [matemáticas] e [/ matemáticas] por el siguiente argumento:

Para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas], para [matemáticas] | x | \ ll 1 [/ matemáticas], sabemos [matemáticas] e ^ x \ aprox 1 + x [/ matemáticas]. Eso no es realmente un hecho de álgebra, pero una vez que lo sabemos, podemos tratarlo como tal. Entonces, cuando lo extendemos a pequeños exponentes imaginarios, obtenemos nuestras astillas:

[matemáticas] e ^ {i \ epsilon} \ aprox 1 + i \ epsilon [/ matemáticas]

Ya estamos asumiendo aquí [math] i = \ sqrt {-1} [/ math], es solo una abreviatura.

Deje que [math] z = 1 + i \ epsilon [/ math] sea nuestra astilla. Sabemos que [math] | z | = \ sqrt {1+ \ epsilon ^ 2} \ aprox 1 [/ math] y [math] \ angle z = \ arctan (\ epsilon / 1) \ approx \ epsilon. [/ Math ] Entonces [math] z [/ math] está aproximadamente en el círculo unitario en ángulo [math] \ epsilon. [/ Math] Todas las potencias de [math] z [/ math] estarán (aproximadamente) en el círculo unitario como bien.

Cuando multiplicamos números complejos, sumamos los ángulos. (Esto es implícitamente una declaración sobre [matemáticas] \ sqrt {-1}. [/ Matemáticas]) En particular, los poderes de [matemáticas] z [/ matemáticas] tienen ángulos fáciles de determinar: [matemáticas] \ ángulo z ^ 2 = 2 \ angle z \ approx 2 \ epsilon [/ math], y en general [math] \ angle z ^ k = k \ angle z \ approx k \ epsilon. [/ Math]

Hay algo de [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] k \ epsilon \ approx \ pi. [/ Matemática] Cuando estamos en el círculo unitario en ángulo [matemática] \ pi [/ matemática], estamos en [matemáticas] -1 + 0 i. [/ matemáticas] Es decir

[matemáticas] z ^ k \ aprox -1 + 0 i [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + i \ epsilon) ^ k \ aprox -1 + 0 i [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ {i \ epsilon}) ^ k \ aprox -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ik \ epsilon} \ aprox -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} \ aprox -1 [/ matemáticas]

Comenzamos con una aproximación que era esencialmente cálculo, y aquí necesitamos cálculo para convertir esta aproximación en una ecuación, pero llegamos bastante lejos con álgebra y un poco de trigonometría.

Answer 6

[math] i = \ sqrt {-1} [/ math] es una definición, pero sí, puedes. La fórmula de Euler se define de la siguiente manera:

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ cdot sin (\ theta) [/ math]

Indicar [matemáticas] \ pi = \ theta [/ matemáticas] le da [matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]. Vamos a enraizar ambos lados de eso:

[matemáticas] \ sqrt {e ^ {i \ pi}} = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ {i \ pi}) ^ {1/2} = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ frac {1} {2} i \ pi} = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

Ahora, aplicando la fórmula de Euler en el lado izquierdo:

[matemáticas] cos (\ frac {1} {2} \ pi) + i \ cdot sin (\ frac {1} {2} \ pi) = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

Enchufar los resultados de las funciones trigonométricas:

[matemáticas] 0 + i \ cdot 1 = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] i = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

Answer 7

Supongamos que tenemos [math] z \ in \ mathbb {C} [/ math] tal que [math] e ^ {z \ pi} = -1 [/ math]. ¿Qué podemos decir sobre [math] z [/ math]? ¿Podemos concluir que [math] z = \ sqrt {-1} [/ math]?

[matemática] e ^ {z \ pi} = -1 [/ matemática], entonces [matemática] z \ pi = \ log {\ left (-1 \ right)} = i \ pi (2n + 1) \ [/ matemáticas] donde [matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto z = (2n + 1) i \ [/ matemática] donde [matemática] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemática]

Por lo tanto, no podemos concluir que [math] z = i = \ sqrt {-1} [/ math], pero podemos ver que [math] z [/ math] debe ser un múltiplo impar de [math] i [/ math] .

Para ver por qué [matemáticas] \ log {\ left (-1 \ right)} = i \ pi (2n + 1) [/ math], lea sobre el Logaritmo complejo de valores múltiples. También hay algunas respuestas aquí: ¿Cuál es el valor de log (-1) =? La esencia de esto es que [math] \ log {z} = \ log {\ left \ lvert z \ right \ rvert} + i \ arg {z} [/ math]. Cuando [math] z = -1 [/ math], [math] \ left \ lvert z \ right \ rvert = 1 [/ math], entonces [math] \ log {\ left \ lvert z \ right \ rvert} = 0 [/ math] y [math] \ arg {z} = \ pi + 2n \ pi [/ math] donde [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math] y el resultado sigue.