Cómo diferenciar la ecuación para el desplazamiento de un oscilador armónico simple

Answer 1

Primero un poco de matemáticas:

Para diferenciar y = A sin (kt)

obtenemos:

dy / dt = A k cos (kt)

Para diferenciar y = A cos (kt)

obtenemos:

dy / dt = – A k sen (kt)

Ahora usemos esto para un movimiento armónico simple

El desplazamiento, y en el tiempo, t, viene dado por:

y = A sin (2 pi ft)

f = frecuencia del oscilador (número de oscilaciones por segundo)

A = amplitud (desplazamiento máximo)

Pero, velocidad, v = dy / dt

Si diferenciamos y = A sin (2 pi ft) con respecto a t obtenemos:

v = dy / dt = 2 pi f A cos (2 pi ft)

Entonces:

Velocidad del oscilador, v = 2 pi f A cos (2 pi ft)

El valor máximo del coseno es uno, por lo que la velocidad máxima es:

v (máx.) = 2 pi f A

Si queremos aceleración, a, solo recordamos que:

a = dv / dt

Así que solo diferenciamos: v = 2 pi f A cos (2 pi ft) con respecto a t:

dv / dt = – 2 pi f A. 2 pi f sin (2 pi ft)

a = – (2 pi f) ^ 2. Un pecado (2 pi ft)

Porque y = A sin (2 pi ft)

también podemos escribir:

a = – (2 pi f) ^ 2. y

NOTA

Es más normal (pero no esencial) iniciar el reloj (t = 0) cuando el desplazamiento es cero.

Esto significa y = A sin (2 pi ft) en lugar de y = A cos (2 pi ft) como en su pregunta.

Answer 2

Creo que la ecuación inicial es incorrecta, debería ser [matemática] x = A \ cos2 \ pi ft. [/ Matemática] Esto se puede diferenciar usando la regla de la cadena que se muestra a continuación.

Para hacer esto, necesitamos usar la regla de la cadena. La regla de cadena establece que [math] \ frac {dx} {dt} = \ frac {dx} {du} \ times \ frac {du} {dt}. [/ Math]

Para usar la regla de la cadena en este escenario, podemos permitir que el interior de la función cos sea igual a u. Su ecuación se convierte en [matemáticas] x = A \ cos u. [/ math] Donde [math] u = 2 \ pi ft. [/ math] Entonces, para usar la regla de la cadena, primero debemos diferenciar [math] x = A \ cos u [/ math] para obtener [math] \ frac { dx} {du} [/ math] y luego [math] u = 2 \ pi ft [/ math] para obtener [math] \ frac {du} {dt}. [/ math]

Diferenciar [matemática] x = A \ cos u [/ matemática] nos da [matemática] \ frac {dx} {du} = -A \ sen u [/ matemática]. Luego, diferenciar [math] u = 2 \ pi ft [/ math] nos da [math] \ frac {du} {dt} = 2 \ pi f. [/ Math] Luego, usando la regla de la cadena, [math] \ frac { dx} {dt} = -A \ sen u \ times 2 \ pi f [/ math].

Luego, sustituyendo de nuevo por [math] u [/ math], obtienes la respuesta [math] \ frac {dx} {dt} = – 2 \ pi f A \ sin2 \ pi f t. [/ Math]