Suponga que tiene dos masas de 10 kg, separadas por 4 m. Su punto de equilibrio está a medio camino entre ellos, ¿verdad? Ese es el centro de masa. Si las masas están en una tabla liviana, esperarías que la tabla esté equilibrada si la sostienes en el medio, a 2 m de cada extremo. Es por eso que también se le llama centro de gravedad.
Ahora suponga que tiene una masa de 10 kg y una masa de 20 kg, con una separación de 6 m. Eso es lo mismo que tener tres masas de 10 kg, una en el origen y dos ubicadas a 6 m. Si quisieras la posición promedio de toda esa masa, promediarías las coordenadas x: (0 + 6 + 6) / 3 = 4, entonces 4 m del origen, 2 m de la masa de 20 kg.
Puede escribir el mismo cálculo que [0 m • 10 kg + 6 m • 20 kg] / (10 kg + 20 kg). Los kilogramos se cancelan y obtienes 4 metros, como antes. Este es un promedio ponderado , literalmente. De ahí viene el nombre. Si un examen final ‘cuenta como dos pruebas’, entonces estamos diciendo que tiene el doble de ‘peso’.
La fórmula general para masas discretas es {∑ mx} / {∑m} = Xcm (centro de masa). Del mismo modo Ycm y Zcm según sea necesario.
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En el caso continuo, estamos sumando M = ∫ (dm / dx) dx = ∫ densidad dx, o en tres dimensiones, ∫ densidad dV = M. Para el centro de masa, obtenemos
Xcm = {∫ x • (dm / dV) dV} / {∫ (dm / dV) dV} y de manera similar para Ycm y Zcm.
Un área tiene un momento de inercia si supone que representa un objeto de esa forma, con un grosor pequeño y una densidad uniforme, generalmente 1 en unidades convenientes. Entonces, una lámina semicircular, por ejemplo, tiene una masa y un momento de inercia para cada eje que intenta rotar; resiste ser girado, y una vez que gira, se resiste a ser detenido o girado más rápido.
El momento de inercia para una masa de un solo punto es mr ^ 2, donde r es la distancia de la masa desde el eje sobre el que está tratando de rotarla. Eso puede derivarse de F = ma, convirtiéndose en tau (par) = I (momento de inercia) • alfa (aceleración angular).
El momento de inercia para una suma de masas es simplemente ∑mr ^ 2.
El momento de inercia para una distribución continua de masa es ∫ r ^ 2 dm, o
∫ r ^ 2 (dm / dV) dV = ∫ r ^ 2 • rho (densidad) dV. De nuevo, r es la distancia desde el eje de rotación elegido.
Espero que eso ayude.