¿Cuál es la ecuación del círculo más grande que se puede inscribir en el primer cuadrante debajo de [matemáticas] y = \ frac {x} {e ^ x-1} [/ matemáticas]?

Answer 1

La ecuación del círculo debe ser

[matemáticas] (xR) ^ 2 + (yR) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]

Como debe ser tangente a [math] y = 0 [/ math] y [math] x = 0 [/ math].

[matemáticas] x ^ 2-2Rx + y ^ 2 + -2Ry = -R ^ 2 [/ matemáticas]

Las soluciones para [math] y [/ math] son

[matemáticas] y_1 = R + \ sqrt {2Rx-x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y_2 = R- \ sqrt {2Rx-x ^ 2} [/ matemáticas]

Se deduce que debe maximizar R con la condición

[matemáticas] R + \ sqrt {2Rx-x ^ 2} = \ frac {x} {e ^ x-1} [/ matemáticas]

que es un problema de optimización

Sí, lidias con eso ahora. Soy ingeniero (estereotipos de larga vida), así que miré el gráfico, vi qué valor debería tener el radio y lo probé en Wolframalpha:

Parece que 0.4 no es lo suficientemente bueno. 0.39 debería hacerlo:

Sí, ahí lo tienes. En algún lugar entre 0.39 y 0.4.

EDITAR: No me di cuenta al principio, pero no lo hice bien. No es un problema de optimización ya que solo hay un círculo para ser tangente a su función y a [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Esto significa que, analíticamente, solo tienes que imponer

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (R + \ sqrt {2Rx-x ^ 2}) = \ frac {d} {dx} (\ frac {x} {e ^ x-1}). [/ math ]

Esta es la condición necesaria, y [matemática] R [/ matemática] debería resultar de aquí.

Answer 2

La ecuación del círculo tendrá la forma [matemática] (año) ^ 2 + (xr) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática].

Buscamos el punto de tangencia con la función [matemáticas] \ frac {x} {e ^ x-1} [/ matemáticas].

Deje que las coordenadas del punto de tangencia sean [matemáticas] (x, \ frac {x} {e ^ x-1)}) [/ matemáticas]. Debemos resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas].

La primera derivada de la función es [math] \ frac {-e ^ x (x-1) +1} {(e ^ x-1) ^ 2} [/ math] y lo normal de la función será lo negativo recíproco de la primera derivada, [math] \ frac {e ^ {2x} -2e ^ x + 1} {e ^ x (x-1) +1} [/ math].

Entonces, una ecuación para la pendiente de la carrera normal que atraviesa el centro del círculo será [matemáticas] \ frac {e ^ {2x} -2e ^ x + 1} {e ^ x (x-1) +1} = \ frac {re ^ xxr} {(rx) (e ^ x-1)} [/ math].

Resolviendo para [math] r [/ math] y simplificando:

[matemáticas] r = \ frac {xe ^ {- x} (e ^ {3x} -3e ^ {2x} + e ^ x (4-x) -2)} {e ^ {2x} -e ^ x ( x + 2) + x + 1}. [/ matemáticas]

Sustituya esta expresión por [math] r [/ math] en la ecuación del círculo y sustituya [math] \ frac {x} {e ^ x-1} [/ math] por [math] y [/ math] en el ecuación del círculo. Simplifique y use Newton-Raphson para aproximar el [math] x \ text {-coordinate} [/ math] del punto de tangencia como [math] x \ approx0.5405033556083612 [/ math]. El [math] y \ text {-coordinate} [/ math] del punto de tangencia se ve entonces como [math] y \ approx0.7539759249189861 [/ math].

Finalmente, sustituya las coordenadas aproximadas del punto de tangencia en la ecuación del círculo y use Newton-Raphson para aproximar [matemáticas] r \ aprox0.3916764034089480 [/ matemáticas].

Answer 3

La ecuación del círculo será

[matemáticas] (ya) ^ 2 + (x -a) ^ 2 = a ^ 2. [/matemáticas]

La pregunta es el valor de [math] a [/ math]. Resuelve la ecuación circular para

[matemáticas] y = a + \ sqrt {a ^ 2 – (xa) ^ 2} [/ matemáticas]

y encuentra dónde se cruza

[matemáticas] y = \ frac {x} {e ^ x – 1}. [/ matemáticas]

Establecer estos iguales da una ecuación en una desconocida

[matemáticas] \ frac {x} {e ^ x – 1} = a + \ sqrt {2ax – x ^ 2} [/ matemáticas]

que no tiene una solución analítica. En este punto, debe proceder numéricamente y encontrar la [matemática] a [/ matemática] más pequeña con una única solución a la ecuación.

Parece que la respuesta está en algún lugar sobre [matemáticas] a \ aprox .3917 [/ matemáticas]