¿Por qué la ecuación de onda es un caso especial de la ecuación de Burgers?

Answer 1

La ecuación de las hamburguesas tiene una convección no lineal, específicamente: [matemáticas] u \ frac {\ partial u} {\ partial x} [/ matemáticas], donde [matemáticas] u [/ matemáticas] es la solución. Lo que usted llama una ecuación de onda es probablemente una ecuación de transporte lineal con convección de la forma [math] a \ frac {\ partial u} {\ partial x}, [/ math] donde [math] a [/ math] es independiente de la solución [matemáticas] u. [/ matemáticas]

Formalmente, estas ecuaciones son diferentes, y la última no es un caso particular de la primera. Pero se podría decir que la ecuación de transporte lineal es solo un caso particular de las ecuaciones con el término de convección [matemática] f (u, x) [/ matemática] [matemática] \ frac {\ partial u} {\ parcial x}. [/matemáticas]

Además, la ecuación de onda real es PDE de segundo orden, no de primer orden, aunque puede derivarse de un conjunto de las de primer orden.

Answer 2

No lo es

Si usa una sustitución no lineal particular llamada transformación de Cole-Hopf, encontrará que la ecuación de Burgers se transforma en la ecuación de calor / difusión (no la ecuación de onda), pero esto es diferente de ser un caso especial de Burgers ‘ ecuación (al menos en mi mente).

La ecuación de Burgers es fundamentalmente diferente de la ecuación de onda porque es de primer orden en el tiempo, mientras que la ecuación de onda es de segundo orden en el tiempo. Esto significa, entre otras cosas, que las soluciones a la ecuación de onda homogénea son reversibles en el tiempo (sustituyendo [math] t \ rightarrow -t [/ math] produce otra solución viable) mientras que las soluciones a la ecuación de Burgers no lo son.