¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación, ‘2x + [x] = 9 {x}’?

Answer 1

A2A

Tres hechos que nos ayudarán a resolver esto son:

1. [matemáticas] [x] \: [/ matemáticas] es un número entero.
2. [matemáticas] \ texto {{x}} \ en [0,1) [/ matemáticas]
3. [matemáticas] [x] + \ text {{x}} [/ matemáticas] [matemáticas] = x [/ matemáticas]

Ahora, como [matemáticas] \: [x] + \ text {{x}} [/ matemáticas] [matemáticas] = x \: [/ matemáticas] por lo tanto-

• Agregar [matemática] \: 9 [x] \: [/ matemática] en ambos lados de la ecuación nos da-

[matemáticas] \ qquad 2x + 10 [x] = 9 {x} +9 [x] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ implica [x] = \ dfrac {7} {10} x [/ matemáticas]

• Entonces, x tiene la forma de [math] \: \ dfrac {10k} {7} \: [/ math] donde k es un número entero
• Añadiendo [math] \: \ text {{x}} \: [/ math] en ambos lados de la ecuación obtenemos-

[matemáticas] \ qquad 2x + [x] + \ text {{x}} = 10 \ text {{x}} [/ math]

[math] \ qquad \ qquad \ implica \ text {{x}} [/ math] [math] = \ dfrac {3} {10} x = \ dfrac {3} {10} \ times \ dfrac {10k} { 7} [/ matemáticas]

• Como, [matemática] \: \ text {{x}} [/ matemática] [matemática] \ en [0,1) \: [/ matemática] por lo tanto [matemática] \: 3k / 7 \ en [0,1) \: [/ math] es decir [math] \: k \ in [0,7 / 3) [/ math]
• Los valores posibles de [math] \: k \: [/ math] son ​​[math] 0, \: 1 \: [/ math] y [math] \: 2 \: [/ math] que proporciona los valores correspondientes de [math] ] \: x \: [/ math] como [math] \: 0, \: 10/7 \: [/ math] y [math] \: 20/7. [/ math]

[math] \ boxed {\ text {3 Posibles soluciones}} [/ math]

Answer 2

Solo puedo reformular la respuesta de Archishman Guha ya que él ya ha dado una solución agradable y completa.

Como [math] x = [x] + \ {x \} [/ math], tenemos [math] 3 [x] = 7 \ {x \} [/ math] y [math] \ {x \} = \ frac {3} {7} [x] [/ matemáticas]. Como [math] 0 \ le \ {x \} <1 [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math], tenemos [math] 0 \ le 3 [x] <7 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] [x] \ in \ {0,1,2 \} [/ matemáticas], y así

[matemática] x = [x] + \ {x \} = \ frac {10} {7} [x] = 0 [/ matemática], [matemática] \ frac {10} {7} [/ matemática], o [matemáticas] \ frac {20} {7} [/ matemáticas]. Hay tres soluciones en números reales . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

En este tipo de preguntas, siempre debe tratar de expresar la ecuación en forma de: [X] = a {X}, donde a es un número real.