¿Hay otra fórmula para esta ecuación [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] no [matemáticas] \ frac {-b \ mp \ sqrt {b ^ 2-4c}} {2} [/ matemáticas ]?

Has creado una nueva fórmula cuadrática; muy genial. Hay un pequeño error; necesitamos [math] -b [/ math] al final, no [math] -a. [/ math]

[matemáticas] x = \ dfrac {2c} {b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} – b [/ matemáticas]

Además, la división entre [matemáticas] x [/ matemáticas] significa que esto probablemente no funcionará cuando [matemáticas] x = 0. [/ Matemáticas]

Vamos a verlo La ecuación más simple [matemática] 0 = (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2. [/ Matemática] [matemática] b = -3, c = 2. [/ Matemática]

[matemáticas] x = \ dfrac {4} {- 3 \ pm \ sqrt {1}} – -3 = \ dfrac {4} {- 3 \ pm 1} + 3 = \ {1, 2 \} [/ matemáticas ]

¡Funciona!

Trabajemos en ello y veamos qué obtenemos. Solo la raíz del signo más para mantener el desorden bajo.

[matemáticas] x = \ dfrac {2c} {b + \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} – b [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2c} {b + \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} \ dfrac {b – \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {b – \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} – b [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2c (b – \ sqrt {b ^ 2 – 4c})} {4c} – b [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {-2cb – 2c \ sqrt {b ^ 2–4c}} {4c} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac 1 2 (-b – \ sqrt {b ^ 2 -4c}) [/ matemáticas]

Entonces esto es (más o menos) equivalente a la fórmula cuadrática regular. La fórmula regular es preferible ya que no tiene un problema con [math] x = 0. [/ Math]


Ocasionalmente, yo mismo incursiono en nuevas fórmulas cuadráticas. Hasta la fecha, mi mejor creación es la Fórmula Cuadrática de Shakespeare ([matemáticas] 2b [/ matemáticas] o [matemáticas] -2b [/ matemáticas]).

[matemática] x ^ 2 – 2bx + c = 0 [/ matemática] tiene soluciones [matemática] x = b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – c} [/ matemática]

Una generalización útil es

[matemática] ax ^ 2 – 2bx + c = 0 [/ matemática] tiene soluciones [matemática] x = \ frac 1 a (b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – ac}) [/ matemática]

Sí, hay otra fórmula y la proporcionó en sus datos (con errores).

La ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0 es equivalente a cy ^ 2 + por + a = 0 donde y = 1 / x siempre que ayc no sean cero. (Si uno de ellos es cero, entonces una solución tiene x o y siendo cero, por lo que y o x serían infinitos).

En el caso de que ayc no sean cero, solo use la fórmula cuadrática para y. Luego pon x = 1 / y. Si racionaliza la expresión resultante, recupera la fórmula habitual.

El único uso de la forma alternativa es ver qué sucede cuando un tiende a cero.

Estás preguntando acerca de la fórmula cuadrática. Existe el método Newton-Raphson, aunque estrictamente hablando no es una fórmula.

También puede resolver factorizando y completando el cuadrado, estimando, luego refinar a partir de una gráfica también es una técnica

La fórmula que da es correcta si elimina las [matemáticas] – \; a [/ math], pero también, equivalente a la fórmula estándar. (¡Por supuesto! Cualquier dos fórmulas que sean correctas dan los mismos resultados correctos, y por lo tanto son tautológicamente equivalentes).

Si desea ver la equivalencia más directamente, tenga en cuenta que multiplicando el numerador y el denominador de [math] \ frac {-2c} {b \ mp \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} [/ math] por [math] {b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} [/ math] cada uno produce el mismo resultado que multiplicando el numerador y el denominador de [math] \ frac {-b \ mp \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {2} [/ math] por [math] 2c [/ math] cada uno. Entonces estas son fracciones equivalentes.

(Excepto posiblemente donde [math] {b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} [/ math] o [math] 2c [/ math] salen a cero. Las únicas circunstancias donde estas expresiones salen a cero son cuando [math] c = 0 [/ math], y puede verificar manualmente que en tales circunstancias, la fórmula originalmente enmarcada proporciona las soluciones 0 y -b, mientras que la fórmula actualizada proporciona las soluciones 0 y un 0/0 indeterminado que debería se debe considerar que corresponde a -b (una ventaja de la fórmula originalmente enmarcada sobre su reformulación es que no puede tener divisiones por cero). En realidad, según principios generales, podemos concluir que si dos expresiones de este tipo son equivalentes en todas partes fuera de un situación aislada como c = 0, también se corresponderán en esa situación aislada.)

Depende de lo que llames “otro”. Las raíces de esta ecuación cuadrática tienen valores bien definidos, que puede expresar como una expresión racional (es decir, utilizando las cuatro operaciones básicas más raíces). Son posibles diferentes variantes, cambiando esencialmente el orden en que se aplican las operaciones. Pero los valores mismos siguen siendo los mismos.

Cuando está evaluando numéricamente, usando aritmética de precisión finita, esto hace la diferencia, porque las leyes habituales (asociatividad, distributividad) no se cumplen. Vale la pena recordar el siguiente truco:

[matemáticas] x_0 = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas], [matemáticas] x_1 = \ dfrac {2c} {x_0} [/ matemáticas]

para ser usado con [matemáticas] + [/ matemáticas] cuando [matemáticas] b <0 [/ matemáticas], y [matemáticas] - [/ matemáticas] de lo contrario. Esto es más preciso que la fórmula estándar.

A menudo se da el caso de que [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tiene un factor [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Luego uso el un poco más simple

[matemáticas] x ^ 2 + 2bx + c \ iff x = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-c} [/ matemáticas].

Si desea que las raíces sean recíprocas de las α, β normales

la ecuación sería:

y²- (1 / α + 1 / β) y + (1 / αβ) = 0

y² + (b / c) y + 1 / c = 0

x² + bx / c + 1 / c = 0

x² + Bx + C = 0 →

x = 1 / {- b / c ± √ (b / c) ²-4 / c} / 2

= 1 / {- b ± √ (b²-4c)} / 2c

= 2c / {- b ± √ (b²-4c)}

Entonces, ya ves, lo que hiciste no es nada nuevo sino tareas de tarea.

Pero un buen truco que engaña a muchos tontos.

No. Hay una fórmula única para la solución de la cuadrática. Hay muchas formas de resolverlo, pero no importa cómo intente resolverlo, la solución es la misma.

Su fórmula depende de “a” que no está definida. Como conoce la fórmula correcta, si equipara los dos, puede encontrar “a”.

No tengo otra fórmula sino un truco para descubrir la solución muy rápido en algunos casos.

[matemáticas] b = – (x_ {1} + x_ {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] c = x_ {1} x_ {2} [/ matemáticas]

Necesitas encontrar dos números que satisfagan las ecuaciones anteriores y tienes las soluciones