Existe una correspondencia muy directa entre lo complicadas que son las simetrías de las raíces de la quintic y el hecho de que la quintic general no puede ser resuelta por los radicales.
El punto de partida es que para la quintic general, el grupo que se baraja alrededor de las raíces de la quintic puede ser tan grande como [math] S_5 [/ math], el grupo simétrico de 5 elementos. Este grupo no es solucionable, lo que se sabe (según los argumentos de la teoría de Galois) es equivalente a que la ecuación polinómica correspondiente no sea solucionable por los radicales.
Dicho esto, siempre puedes expresar una raíz en términos de las otras raíces de cierta manera (algo que mencionas en los comentarios a esta pregunta). Tú lo sabes
[matemáticas] \ begin {align *} x ^ 5 & + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e \\ & = (x – \ alpha_1) (x – \ alpha_2) (x – \ alpha_3 ) (x – \ alpha_4) (x – \ alpha_5) \ end {align *} \ tag * {}, [/ math]
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y por lo tanto (expandiendo y comparando coeficientes)
[matemáticas] \ begin {align *} \ alpha_1 + \ alpha_2 + \ alpha_3 + \ alpha_4 + \ alpha_5 & = -a \\ \ sum_ {i \ neq j} \ alpha_i \ alpha_j & = b \\ \ sum_ {i \ neq j, j \ neq k, k \ neq i} \ alpha_i \ alpha_j \ alpha_k & = -c \\ \ alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 \ alpha_4 \ alpha_5 \ sum_ {i = 1} ^ 5 \ alpha_i ^ {- 1} & = d \\ \ alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 \ alpha_4 \ alpha_5 & = -e \ end {align *} \ tag * {}. [/ Math]