Cómo resolver X ^ 3 -31x + 30 = 0

La solución más simple usando un enfoque clásico puede ser:

(x ^ 3) – 31x +30 = 0 —————————— (1)
Escribir -31x = -x- 30x, dará –

(x ^ 3) – x – 30x +30 = 0 ————————— (2)
Tome x común de los primeros 2 términos y 30 común de los últimos 2 términos.

x {(x ^ 2) -1} – 30 {x-1} = 0 ————————— (3)

Expandir {(x ^ 2) -1} = (x-1) (x + 1)

x {(x-1) (x + 1)} – 30 {x-1} = 0 ———————- (4)
Ahora tome (x-1) común, obtenemos –

(x-1) * {x * (x + 1) – 30} = 0 ———————- (5)
Multiplica x dentro del soporte para hacer un polinomio cuadrático.

(x-1) * {(x ^ 2) + x -30} = 0 ———————— (6)

(x-1) * {(x ^ 2) + 6x -5x -30} = 0 ——————— (7)

Dentro de llaves, tome x común de los primeros 2 términos
y tome 5 comunes de los últimos 2 términos.

(x-1) * {x (x + 6) – 5 (x + 6)} = 0 ————— (8)

(x-1) * (x + 6) * (x-5) = 0 ——————— (9)

Los valores de x = 1, x = 5, x = -6 satisfacen la ecuación,
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cúbica son:

x = 1, 5, -6

Al usar la división sintética (o simplemente mirarla) puede ver que [matemática] (x-1) [/ matemática] es un factor de [matemática] x ^ 3–31x + 30 [/ matemática]. El cociente después de dividir entre [matemática] (x-1) [/ matemática] es [matemática] x ^ 2 + x-30 [/ matemática], y luego usa la fórmula cuadrática (o globo ocular) para factorizar esto como [matemática] (x-5) (x + 6) [/ matemáticas]. Entonces, la factorización completa de esta ecuación polinómica es [matemática] (x-5) (x-1) (x + 6) = 0 [/ matemática], entonces la solución es [matemática] x = 5 [/ matemática] o [ matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] x = -6 [/ matemática].

Para desarrollar el método del “globo ocular” para saber que [math] (x-1) [/ math] es un factor, es solo para verificar si los coeficientes suman cero. Lo hacen en este caso, por lo que [math] (x-1) [/ math] es un factor. En cualquier caso, si este cúbico se puede factorizar, entonces uno de los factores tiene que ser [math] (xa) [/ math], donde [math] a [/ math] es un factor de 30. Nota: el Los factores de 30 pueden ser positivos o negativos.

Más información sobre la división sintética de Wikipedia.

[matemática] x ^ 3-31x + 30 = 0, [/ matemática] mirando tales ecuaciones, primero intento 1, 0, -1 como posibles soluciones. Afortunadamente, “1” es.

[matemáticas] 1 ^ 3-31 + 30 = 1-31 + 30 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, escribo los coeficientes del polinomio como se muestra a continuación y trato de encontrar otras soluciones.

Los coeficientes [matemáticos] de x ^ 3, x ^ 2, x, constante son [/ matemática] 1, 0, -31, 30

(No solo los estoy colocando, siempre estoy multiplicando los resultados agregados con x = 1) Esto se llama división sintética – Wikipedia

Ahora, tenemos [matemáticas] x ^ 2 + x-30 [/ matemáticas], que es (x + 6) (x-5)

Por lo tanto, otras soluciones son x = -6 yx = 5. Intenta comprobar que x = 1, x = 5, x = -6 satisfacen la ecuación (¡deberían! 🙂)

la factorización completa de esta ecuación polinómica es (x − 5) (x − 1) (x + 6) = 0 [matemática] (x − 5) (x − 1) (x + 6) = 0 [/ matemática], entonces la solución es x = 5 [matemática] x = 5 [/ matemática] o x = 1 [matemática] x = 1 [/ matemática] o x = −6 [matemática] x = −6 [/ matemática].

1³-31 + 30 = 0

x³-31x + 30 = 8

(x-1) (x² + x -30) = 0

(x-1) (x + 6) (x-5) = 0

x = -6, 1, 5

Verifique el método de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas