Cómo encontrar una raíz real de la ecuación f (x) = x ^ 3 + x-1 = 0 utilizando la bisección y el método de Newton-Raphson correctos con tres decimales

Answer 1

Método de bisección:

Este es un método muy simple. Identifique dos puntos x = a y x = b de modo que f (a) yf (b) tengan signos opuestos. Deje f (a) ser negativo yf (b) sea positivo. Entonces habrá una raíz de f (x) = 0 entre a y b. Deje que la primera aproximación sea el punto medio del intervalo (a, b). es decir

x1 = (a + b) / 2

Si f (x1) = 0, entonces x1 es una raíz, de lo contrario, la raíz sabia se encuentra entre a y x1 o x1 yb, ya que f (x1) es positiva o negativa. Luego nuevamente dividimos el intervalo y continuamos el proceso hasta encontrar la raíz con la precisión deseada.

Solución:

deje a = 0 yb = 1

x1 = 0.5, f (x1) = -ve

entre x1 = 0.5 y b = 1

x2 = 0.75 (+ ve)

entre x1 y x2

x3 = 0.625

x4 = 0.6875

x5 = … (obtienes la esencia)

Creo que debería continuar esto unas 10 veces hasta obtener x (n) = x (n + 1) aproximadamente a 3 decimales.

x (n) será la respuesta.

Método de Newton-Raphson:

Sea x0 una aproximación para la raíz de f (x) = 0.

Sea x1 = x0 + h la raíz correcta para que f (x1) = 0. Expandiendo f (x1) = f (x0 + h) por series de Taylor, obtenemos:

f (x1) = f (x1 + h) = f (x0) + hf `(x0) +! h ^ 2 * f “(x0) + …… = 0

Para válvulas pequeñas de h, descuidar los términos con h2, h3 ….. etc. Obtenemos:

f (x0) + h * f `(x0) = 0 y h = – f (x0) / f` (x0)

x1 = x0 + h = x0 – f (x0) / f` (x0)

Procediendo así, podemos obtener aproximaciones sucesivas x2, x3, … x (n + 1)

Solución:

Deje x1 = 0.5

x2 = x1 – (-0.375) /1.75 = 0.71428571428571

de manera similar al continuar este método obtenemos

x3 = 0.68317972350231

x4 = 0.6823284229686

x5 es aproximadamente igual a x4

para obtener la respuesta aplicando el método newton-raphson 3 veces. La cuarta vez que obtienes x5 = x4 – (0.00000148390349) /2.3967162303724 = x4 aprox,

Entonces este es un método más rápido que el método de bisección.

(Pido disculpas si escribí mal cualquier número)

Answer 2

Se le pide que obtenga una respuesta a la precisión de 3dp. Es útil entender lo que esto significa. Significa correcto al .001 más cercano, por lo que, en términos de algo como una bisección, una rebanada que tiene un tamaño de 1/1024 = 1/2 ^ 10.

Vale la pena señalar que la derivada de su ecuación objetivo es 3x ^ 2 + 1, por lo que siempre es positiva y tiene precisamente una raíz real.

Como f (0) = -1 yf ​​(1) = 1, la raíz se ubicará en el rango (0, 1) y, por lo tanto, puede realizar 10 u 11 operaciones de bisección más en este intervalo para obtener su respuesta.

Para aplicar Newton Raphson, tiene la derivada, por lo que puede trabajar de forma iterativa hasta obtener una estimación lo suficientemente precisa. Comience con una estimación inicial de x = 0.5 y repita la fórmula. Como f tiene una buena derivada positiva, sospecho que la estimación se volverá precisa rápidamente. Sospecho que el problema se estableció para mostrar hkw mucho más rápido NR estará en condiciones benignas.

Answer 3

Puede encontrar la respuesta usando la búsqueda binaria usando la función find_root de Maxima:

encontrar_root (x ^ 3 + x-1, x, 0,1);

Puede encontrar la respuesta usando el método de Newton usando el método newton de Maxima:

newton (x ^ 3 + x-1, x, 0,1e-6);

Maxima, un sistema de álgebra computacional

http://maxima.sourceforge.net/

Answer 4

Encontrar raíz usando el método de bisección:

Algoritmo

1. Sea f (x) = 0 y dos números reales a y b de modo que f (a) * f (b) <0
2. Conjunto c = (a + b) / 2
3. si f (c) <0 entonces b = c, de lo contrario c = a

Repita los pasos 2 y 3 hasta (ab)

La ecuación dada es f (x) = x ^ 3 + x-1 = 0

Deje a = 0, b = 1

Primera raíz aproximada:

x1 = (a + b) / 2 = (0 + 1) / 2 = 0.5

f (x1) = 0.5 ^ 3 + 0.5-1 = -0.375 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.5 y x2 = 1.0

Segunda raíz aproximada:

x2 = (a + b) / 2 = (0.5 + 1) / 2 = 0.75

f (x1) = 0.75 ^ 3 + 0.75-1 = +0.17 (+ ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.5 y x2 = 0.75

Tercera raíz aproximada:

x3 = (a + b) / 2 = (0.5 + 0.75) / 2 = 0.625

f (x1) = 0.625 ^ 3 + 0.625-1 = -0.130 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.625 y x2 = 0.75

Cuarta raíz aproximada:

x4 = (a + b) / 2 = (0.625 + 0.75) / 2 = 0.6875

f (x1) = 0.6875 ^ 3 + 0.6875-1 = +0.012 (+ ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.625 y x2 = 0.6875

Cuarta raíz aproximada:

x5 = (a + b) / 2 = (0.625 + 0.6875) / 2 = 0.6562

f (x1) = 0.6562 ^ 3 + 0.6562-1 = -0.0611 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.6562 y x2 = 0.6875

Sexta raíz aproximada:

x6 = (a + b) / 2 = (0.6562 + 0.6875) / 2 = 0.6718

f (x1) = 0.6718 ^ 3 + 0.6718-1 = -0.0248 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.6718 y x2 = 0.6875

Séptima raíz aproximada:

x7 = (a + b) / 2 = (0.6718 + 0.6875) / 2 = 0.6796

f (x1) = 0.6796 ^ 3 + 0.6796-1 = -0.0063 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.6796 y x2 = 0.6875

8va raíz aproximada:

x8 = (a + b) / 2 = (0.6796 + 0.6875) / 2 = 0.6835

f (x1) = 0.6835 ^ 3 + 0.6835-1 = +0.0030 (+ ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.6796 y x2 = 0.6835

Novena raíz aproximada:

x9 = (a + b) / 2 = (0.6796 + 0.6835) / 2 = 0.6816

f (x1) = 0.6816 ^ 3 + 0.0.6816-1 = -0.0016 (-ve)

Por lo tanto, la raíz sale entre x1 = 0.6816 y x2 = 0.6835

Décima raíz aproximada:

x10 = (a + b) / 2 = (0.6816 + 0.6835) / 2 = 0.6826

De ahí la aproximación correcta hasta 3 decimales. Entonces la raíz real de la ecuación = 0.6826