Cómo encontrar el valor mínimo de [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + 4y ^ 2 + xy}

Answer 1

Asumiremos que tanto x como y son números reales.

Cuando x = 0 e y = 0 tenemos una fracción 0/0, con un límite mal definido.

Tanto el enumerador como el denominador pueden escribirse como

x * x * A11 + x * y * A12 + x * y * A21 + y * y * A22 que está con v = (x, y)

v ^ T * A * v.

Para el enumerador, la matriz es la identidad, para el denominador.

es (1,1 / 2; 1 / 2,4). Calculando los valores propios que obtienes (5 + -srqt (10)) / 2,

son aproximadamente 0.919 y 4.081.

Como el enumerador es una identidad, cualquier transformación ortogonal le dejará una identidad y ambas matrices se pueden diagonalizar al mismo tiempo.

Con un phi constante, puede diagonalizar las matrices con, u = cos (phi) * x + sin (phi) * y y v = -sin (phi) * x + cos (phi) * y (vectores propios).

No necesita phi para resolver el problema en cuestión, en términos de u y v la expresión toma la forma:

(u ^ 2 + v ^ 2) / (0.919 * u ^ 2 + 4.081 * v ^ 2)

el valor mínimo viene dado por 1 / el valor propio más grande: 2 / (sqrt (10) +5.) = 0.245, esto se alcanza con cualquier u = 0, v! = 0.

Tenga en cuenta que v! = 0 yu = 0 darían 1 / el otro valor propio, por lo que el límite 0/0 cerca de u = 0 y v = 0 (o equivalente x = 0 e y = 0) depende de dónde se acerque el origen. En otras palabras, el límite no está definido. Pero para el ejercicio, esto no es un problema.

Finalmente, demostremos que el valor mínimo dado es de hecho mínimo:

Deje que los dos valores propios se llamen V y U con V> U, ambos> 0

Si u = 0 el valor es siempre 1 / V. De lo contrario, la fracción:

(u ^ 2 + v ^ 2) / (U * u ^ 2 + V * v ^ 2)

= (1+ (v / u) ^ 2) / (U + V * (v / u) ^ 2)

= 1 / V (1+ (v / u) ^ 2) / (U / V + (v / u) ^ 2)

La última expresión es> 1 / V porque (1+ (v / u) ^ 2) / (U / V + (v / u) ^ 2) es mayor que uno,

lo cual se debe a que el enumerador es más grande que el denominador (ambos positivos), ya que (v / u) ^ 2 es obviamente no negativo y U / V U por definición.

Answer 2

* A2A: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + 4y ^ 2 + xy} [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Divide ambos [math] \ text {N (r)} \ text {&} \ text {D (r)} [/ math] entre [math] x ^ 2 [/ math] : –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1+ \ left (\ dfrac {y} {x} \ right) ^ 2} {1 + 4 \ left (\ dfrac {y} {x} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {y} {x} \ right)} [/ math]

[math] \ star [/ math] Sustituye [math] \ dfrac {y} {x} = m [/ math]: –

[matemáticas] \ implica f (m) = \ dfrac {1 + m ^ 2} {1 + 4m ^ 2 + m} [/ matemáticas]

[matemática] \ estrella [/ matemática] Ahora ponga [matemática] f ‘(m) = 0 [/ matemática] y encuentre los puntos críticos : –

[matemáticas] \ implica f ‘(m) = \ dfrac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} m} = \ dfrac {m ^ 2-6m-1} {\ left (4m ^ 2 + m +1 \ derecha) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {m = 3 \ pm \ sqrt {10}} [/ math]

[matemáticas] \ implica f ” \ left (3+ \ sqrt {10} \ right) = \ left. \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2f} {\ mathrm {d} m ^ 2} \ right | _ {m = 3 + \ sqrt {10}} = + ve \ implica \ text {Mínimo} [/ math]

[matemáticas] \ implica f ” \ left (3- \ sqrt {10} \ right) = \ left. \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2f} {\ mathrm {d} m ^ 2} \ right | _ {m = 3- \ sqrt {10}} = – ve \ implica \ text {Maxima} [/ math]

[math] \ star [/ math] Entonces, [math] f \ left (3+ \ sqrt {10} \ right) [/ math] será el valor mínimo : –

[matemáticas] \ implica \ boxed {f \ left (3+ \ sqrt {10} \ right) = \ dfrac {10-2 \ sqrt {10}} {15} = \ dfrac {2} {3} \ left ( 1- \ sqrt {\ dfrac {2} {5}} \ right) \ approx 0.2450} [/ math]

Answer 3

Estaré usando coordenadas polares aquí

entonces [matemáticas] x = rcos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] y = rsin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, la expresión se transforma en:

[matemáticas] \ dfrac {r ^ 2} {r ^ 2cos ^ 2 \ theta + 4r ^ 2sin ^ 2 \ theta + r ^ 2cos \ theta sin \ theta} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {cos ^ 2 \ theta + 4sin ^ 2 \ theta + cos \ theta sin \ theta} [/ math]

Ahora considera la expresión

[matemática] z = cos ^ 2 \ theta + 4sin ^ 2 \ theta + cos \ theta sin \ theta [/ math]

[matemática] = 1 + 3sin ^ 2 \ theta + cos \ theta sin \ theta [/ math]

Usando las identidades

[matemáticas] 1- cos2 \ theta = 2sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

y [matemáticas] 2 sin \ theta cos \ theta = sin2 \ theta [/ matemáticas]

obtenemos:

[matemáticas] z = 1 + \ dfrac {3} {2} + \ dfrac {1} {2} \ left (sin2 \ theta – 3cos2 \ theta \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {5} {2} + \ dfrac {\ sqrt {10}} {2} \ left (\ dfrac {sin2 \ theta} {\ sqrt {10}} – \ dfrac {3cos2 \ theta} {\ sqrt {10}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {5} {2} + \ dfrac {\ sqrt {10}} {2} \ left (sin \ left (2 \ theta – \ alpha \ right) \ right) [/ math] donde [ matemáticas] \ alpha = tan ^ {- 1} (3) [/ matemáticas]

Entonces ,

[matemática] z \ le \ dfrac {5} {2} + \ dfrac {\ sqrt {10}} {2} [/ matemática] como [matemática] sinx [/ matemática] [matemática] \ le [/ matemática] [ matemática] 1 [/ matemática] [matemática] \ forall [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática] \ en [/ matemática] [matemática] \ R [/ matemática]

Toma recíproca

[matemáticas] \ dfrac {1} {z} \ ge \ dfrac {2} {5 + \ sqrt {10}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2 (5 – \ sqrt {10})} {15} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2} {3} \ izquierda (1 – \ sqrt {\ dfrac {2} {5}} \ derecha) [/ matemáticas]

Entonces, resumiendo tenemos

[matemáticas] \ dfrac {1} {cos ^ 2 \ theta + 4sin ^ 2 \ theta + cos \ theta sin \ theta} \ ge \ dfrac {2} {3} \ left (1 – \ sqrt {\ dfrac {2 } {5}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + 4y ^ 2 + 4xy} \ ge \ dfrac {2} {3} \ left (1 – \ sqrt {\ dfrac {2} {5}} \ right) [/ math]

Answer 4

Con las dos primeras derivadas y algo de intuición, puede encontrar los mínimos locales de la función y luego seleccionar los mínimos de ese conjunto que hace que la función sea más pequeña. Recuerde que un mínimo local de una función 2d [matemática] f [/ matemática] debe satisfacer

[math] f_x = 0 [/ math] y [math] f_y = 0 [/ math] para las primeras derivadas y

[matemáticas] f_ {xx} f_ {aa} -f ^ 2_ {xy}> 0 [/ matemáticas],

La última relación es consecuencia del teorema de Taylor. ¡Buena suerte!

Answer 5

Haz un diagrama 3D para visualizar la forma de la curva.

Luego, trace una familia de 3 curvas 2D con y = 0.5, 1 y 3.

El mínimo parece ser de aproximadamente 0.245

o simplemente use la función fmin_cobyla en scipy o Maxima

Maxima Manual: 37. cobyla

Guía de referencia de SciPy v0.14.0

Answer 6

Deje, (x ^ 2 + y ^ 2) / (x ^ 2 + 4y ^ 2 + xy) = k

(x ^ 2 + y ^ 2) = kx ^ 2 + 4ky ^ 2 + xyk

(k-1) x ^ 2 + kyx + (4k-1) y ^ 2 = 0

Para valores reales de x,

(ky) ^ 2 ≥ 4 (k-1) (4k-1) y ^ 2

15k ^ 2-20k + 4≤ 0

A partir de esto, se puede obtener el valor mínimo y el valor mínimo es:

[(2/3) {1-√ (2/5)}]

Answer 7

La homogeneidad es claramente visible. Dividir por xx, poner y / x = z para hacer una ecuación en una variable. Y luego realice los métodos de diferenciación normales para llegar a la respuesta.