Bueno, tengo uno que es un poco más intuitivo.
Considere que un polinomio tiene dos raíces m, n y un valor promedio l con [math] m \ geq n [/ math].
En realidad, no importa cuál sea el mayor de los dos, solo ayuda a establecer un orden para más adelante.
Entonces: [matemáticas] \ frac {m + n} {2} = l [/ matemáticas]
- ¿Cómo podemos encontrar la ecuación polinómica cuyas raíces son las raíces de un polinomio (digamos 4x ^ 3 + 6x ^ 2-7x + 4 = 0) cada una disminuida en un cierto valor (digamos 3)?
- ¿Cómo se explica la ecuación de Euler fácil pero técnicamente?
- ¿Cuál es la ecuación física más fascinante? ¿Puedes explicarlo?
- Cómo encontrar el valor mínimo de [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + 4y ^ 2 + xy}
- ¿Cuál es la ecuación del círculo más grande que se puede inscribir en el primer cuadrante debajo de [matemáticas] y = \ frac {x} {e ^ x-1} [/ matemáticas]?
Esto significa que:
Reformulemos myn.
Porque myn son equidistantes de su promedio l (por definición de un promedio).
Establezcamos un número y igual a la diferencia (positiva) entre m o ny l , o la mitad de la diferencia entre m y n .
Aka [matemáticas] y = \ frac {mn} {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemáticas] m = l + y, n = ly [/ matemáticas]
Además, debido a nuestra definición anterior:
[matemáticas] m + n = 2l [/ matemáticas]
Establezcamos nuestra cuadrática en el siguiente genérico con coeficiente constante a .
[matemáticas] P (x) = a (xm) (xn) [/ matemáticas]
Al expandir el paréntesis obtienes:
[matemáticas] P (x) = a (x ^ 2- (m + n) x + mn) [/ matemáticas]
Usando nuestras definiciones de antes, podemos sustituir para obtener:
[matemáticas] P (x) = a (x ^ 2-2lx + (l ^ 2-y ^ 2)) [/ matemáticas]
En realidad, esta es la forma de la ecuación.
Hagamos otra cuadrática que parezca más familiar:
[matemáticas] Q (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
Para hacer que Q (x) se parezca más a la forma de P (x), podemos factorizar a.
Entonces [matemáticas] Q (x) = a (x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a}) [/ matemáticas].
Hagamos coincidir los términos.
- [matemáticas] \ frac {b} {a} = – 2l [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ frac {c} {a} = l ^ 2-y ^ 2 [/ matemáticas]
Para recordarnos, l es el promedio de las dos raíces, yy es la “diferencia” de las dos raíces lejos de su promedio.
Resolviendo para l: [matemáticas] l = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas].
Conectando con la segunda ecuación: [matemáticas] \ frac {c} {a} = l = (\ frac {-b} {2a}) ^ 2-y ^ 2 [/ matemáticas]
Reorganización: [matemáticas] y ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {c} {a}. [/ Matemáticas]
Sacando la raíz cuadrada: [matemática] y = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {c} {a}} [/ matemática]
Simplificando aún más:
- [matemáticas] y = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {4ac} {4a ^ 2}} [/ matemáticas]
- [matemáticas] y = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} [/ matemáticas]
- [matemáticas] y = \ pm \ frac {1} {2a} \ sqrt {b ^ 2-4ac} [/ matemáticas]
Hemos resuelto para y cuál es la diferencia desde las raíces hasta su promedio, y l , que es el promedio de los dos.
Porque [matemática] m = l + y, n = ly [/ matemática]
[matemáticas] m, n = \ frac {-b} {2a} \ pm \ frac {1} {2a} \ sqrt {b ^ 2-4ac} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] m, n = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] \ pm [/ math] da ambas soluciones. El valor + es my el valor – es n .
Para resumir lo que he hecho:
Considere que ambas raíces son iguales. Debido al punto óptimo en el gráfico
[math] f (x) = x (cx) [/ math] está en [math] \ frac {c} {2} [/ math], el valor óptimo de la constante de cuadrática para un término b siempre será cuando las dos raíces son iguales en [math] \ frac {b} {2a} [/ math].
Esto significa que la variación y en la ecuación es 0 y, por lo tanto, la constante estará al máximo (porque [matemática] l ^ 2-y ^ 2 [/ matemática] obviamente es mejor cuando no resta nada) .
Esencialmente, todo este proceso hace notar que el término constante al final de la cuadrática depende de la variación de la raíz del promedio, y utiliza la diferencia entre el “óptimo” (raíces iguales, o en realidad la [matemática] \ frac { b ^ 2} {4a ^ 2} [/ math]) y el real (el término [math] \ frac {c} {a} [/ math] en la ecuación real).
Aunque es un poco más complejo, creo que es un enfoque mucho más intuitivo para derivar la fórmula cuadrática. Desearía que realmente explicaran por qué era lo que es. Espero que haya sido perspicaz.
