¿Cómo se explica la ecuación de Euler fácil pero técnicamente?

Answer 1

Serie de potencia. Las series de Taylor específicamente Maclaurin: [matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} X ^ n [ /matemáticas]. Así

[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac { x ^ 3} {6} + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {(2n)!} = 1- \ frac {x ^ 2 } {2} + \ frac {x ^ 4} {24} + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sen x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {{2n + 1}!} = x- \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 5} {120} + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ix} = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {i ^ nx ^ n} {n!} = 1 + ix- \ frac {x ^ 2} {2 } -i \ frac {x ^ 3} {6} + \ puntos [/ matemáticas]

Ahora puedes ver claramente que

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

Answer 2

Alexey Godin tiene una buena respuesta, pero puede que no sea una explicación lo suficientemente buena.

e (x) es la función que equivale a su propia derivada. Eso significa que tiene que tener una expansión de serie infinita que comienza con 1 + xy continúa con factoriales en el denominador, porque sin importar cuántas veces tome la derivada, el resultado aún debe ser igual a lo que comenzó.

Es bien sabido que la derivada de sin (x) es cos (x); Hay una prueba en las funciones de activación derivadas. d / dx cos (x) = – sin (x), lo que significa que d ^ 4 / dx ^ 4 sin (x) = sin (x), y de manera similar la cuarta derivada de cos (x) es igual a sí misma.

Esto nos motiva a redefinir tanto sin (x) como cos (x) sobre el campo complejo como sin (z) y cos (z) que comienzan con expansiones que son las aproximaciones de ángulo pequeño sin (z) = z + … y cos ( z) = 1 – z ^ 2 + … y tienen los mismos factoriales que e (x) pero alternando signos con series, e incluyendo solo potencias impares en la función impar sin (z), y solo potencias pares en la función par cos ( z).

Dado que la forma en que se configuraron es claramente su cuarta derivada, la ecuación de Euler sigue lógicamente y Alexey ha respondido a la parte técnica.

Answer 3

Let, cosx + i senx = z

i cosx – sinx = i z

(- i sinx-cosx) dx = i dz

-zdx = i dz

i dx = dz / z

i x = ln (z) [Integrando … La parte constante es cero si ponemos la condición inicial]

e ^ ( i x) = z

entonces, cosx + i senx = e ^ (i x)