Si las raíces de una ecuación cuadrática son iguales (mn) x ^ 2 + (nL) + (lm) = 0, ¿muestra que l, m, n están en Ap?

Answer 1

La pregunta necesita un poco de edición. Corregiré la pregunta antes de responderla.

Si las raíces de la ecuación cuadrática [matemáticas] (mn) x ^ 2 + (n- \ ell) x + (\ ell-m) = 0 [/ matemáticas] son ​​iguales, entonces demuestre que [matemáticas] \ ell [/ matemáticas ], [matemáticas] m [/ matemáticas], [matemáticas] n [/ matemáticas] están en AP.

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Una condición necesaria y suficiente para que las raíces sean iguales es

[matemáticas] (n- \ ell) ^ 2 = 4 (mn) (\ ell-m) [/ matemáticas].

Escribir [matemática] n- \ ell [/ matemática] como [matemática] (nm) + (m- \ ell) [/ matemática] y la cuadratura da

[matemáticas] (mn) ^ 2 + 2 (mn) (\ ell-m) + (\ ell-m) ^ 2 = 4 (mn) (\ ell-m) [/ math].

Por lo tanto

[matemática] 0 = \ big ((mn) – (\ ell-m) \ big) ^ 2 = \ big (2m – (\ ell + n) \ big) ^ 2 [/ math],

para que [matemática] 2m = \ ell + n [/ matemática]. Por lo tanto, [math] \ ell [/ math], [math] m [/ math], [math] n [/ math] están en AP. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Para que las raíces de una ecuación cuadrática en forma general, [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], sean iguales, la fórmula cuadrática muestra que el discriminante, [matemática] b ^ 2-4ac [/ matemáticas], debe ser igual a cero.

Por lo tanto, [matemáticas] (nl) ^ 2-4 (mn) (lm) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (n ^ 2-2ln + l ^ 2) -4 (lm-m ^ 2-ln + mn) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ 2-2ln + l ^ 2-4lm + 4m ^ 2 + 4ln-4mn = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica l ^ 2 + 4m ^ 2 + n ^ 2-4lm + 2ln-4mn = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (l + n-2m) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica l + n-2m = 0 [/ matemáticas]

Ahora, para ser un AP, la diferencia entre lym debe ser igual a la diferencia entre myn :

[matemáticas] ml = nm \ implica l + n-2m = 0 [/ matemáticas]

QED

(¡Gracias a Anca Haytch por la verificación de errores que me permitió completar mi respuesta! 🙂

Answer 3

Se puede ver claramente que X = 1 es una raíz de la ecuación cuadrática.

Como las raíces son iguales,

suma de las raíces = (-b / a)

2 = [(1-n) / (mn)]

en multiplicación cruzada,

2m-2n = 1-n

2m = 1 + n

Por lo tanto , 1, m, n están en AP

Answer 4

Consideramos las diferencias:

d₁ = m – l

d₂ = n – m

La ecuación original se convierte en:

-d₂x² + (d₁ + d₂) x – d₁ = 0

Dado que se da por hecho que las raíces son iguales, el Discriminante, D , es igual a 0 .

D = (d₁ + d₂) ² – 4d₁d₂ = d₁² + 2d₁d₂ + d₂² – 4d₁d₂ = d₁² – 2d₁d₂ + d₂² = (d₁ – d₂) ²

Si (d₁ – d₂) ² = 0 se deduce que d₁ = d₂ = d , donde d es la diferencia común de la progresión aritmética.

Answer 5

Dado [matemáticas] (mn) x ^ 2 + (nl) x + (lm) = 0 [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] a, a [/ matemáticas] sea la raíz de la ecuación

[matemáticas] (xa) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2–2ax + a ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Comparando coeficientes

[matemáticas] \ dfrac {mn} {1} = \ dfrac {nl} {- 2ab} = \ dfrac {lm} {a ^ 2} = k [/ matemáticas] decir

[matemáticas] k = \ dfrac {m-n + n-l + lm} {1–2a + a ^ 2} = \ dfrac {0} {(1-a) ^ 2} [/ matemáticas]

Se deduce que [matemáticas] 1-a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]

Entonces obtenemos [math] mn = lm [/ math]

Entonces [matemáticas] l, m, n [/ matemáticas] están en AP

Answer 6

Observe que [math] x = 1 [/ math] hace que el lado izquierdo [math] 0 [/ math]. Por lo tanto, no solo [math] x = 1 [/ math] es la raíz doble, sino que también es una raíz de su derivada y, por lo tanto, [math] 2 (mn) = l – [/ math] ny finalmente, [math] 2m = l + n [/ matemáticas].

Answer 7

use (nl) ^ 2 = 4 (lm) (mn): Discriminante = 0

Organizar algebraicamente para desarrollar n ^ 2 + l ^ 2 + 4m ^ 2 + 2ln-4lm-4mn

este es un cuadrado perfecto que da (n + l-2m) ^ 2 = 0

entonces m = (n + l) / 2

Answer 8