La ecuación [matemática] x ^ 2 – x – 1 = 0 [/ matemática] no incluye [matemática] n [/ matemática], por lo que la pregunta no tiene el sentido dado. Mirando la redacción, supongo que podría haber querido decir: ¿hay alguna [matemática] n> 2 [/ matemática] tal que haya una solución a la ecuación [matemática] x ^ n – x – 1 = 0 [/ matemática] ?
La respuesta corta es sí: [matemáticas] x ^ n – x – 1 [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] y como tal tendrá raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] (valores de [matemática] x [/ matemática] para la cual el polinomio se evalúa a 0). A veces parecerá que hay menos de [matemáticas] n [/ matemáticas] porque una o más de las raíces pueden repetirse, pero siempre habrá al menos una y tantas como [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces distintas.
Sin embargo, algunas (o todas) de las raíces pueden ser números complejos. De hecho, una de las principales motivaciones para extender nuestros números para incluir valores “complejos” fue darnos una forma de representar y trabajar con todas las raíces de los polinomios. Entonces, la pregunta podría ser: ¿hay siempre al menos una raíz real de [matemáticas] x ^ n – x – 1 [/ matemáticas]? Y la respuesta a eso, como sucede, también es sí. Una prueba sigue.
Suponga que [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] x ^ n – x – 1 [/ math] es continuo en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Para grandes positivos [matemáticas] x [/ matemáticas] el término [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] domina, y también es grande y positivo. Entonces podemos encontrar [matemática] k> 0 [/ matemática] tal que [matemática] x> k \ implica x ^ n – x – 1> 0 [/ matemática]. Pero cuando [math] x = 0 [/ math] tenemos [math] x ^ n – x – 1 = -1 <0 [/ math], entonces, según el teorema del valor intermedio, debe haber un [math] x \ in (0, k) [/ math] para el cual [math] x ^ n – x – 1 = 0 \ [/ math] QED .
- Al resolver ecuaciones cuadráticas, ¿qué método es el más fácil de entender y usar?
- ¿Cómo se resuelve la ecuación [matemáticas] 1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0 [/ matemáticas]?
- En la ecuación 12x (-6) + 9-12 + 7 = x, ¿cuál es el valor de x?
- Cómo convertir una Laplace en una ecuación diferencial
- Cómo encontrar la ecuación de la tangente a la curva [matemática] y = \ cos (x + y) [/ matemática], donde [matemática] x [/ matemática] está entre [matemática] -2 \ pi [/ matemática] y [matemática] 2 \ pi [/ matemática], paralela a la línea [matemática] x + 2y = 0 [/ matemática]
Entonces, por cada [matemática] n> 2 [/ matemática] habrá al menos una solución real a la ecuación [matemática] x ^ n – x – 1 = 0 [/ matemática].