¿Hay algún número n mayor que 2, de modo que haya una solución a la ecuación x ^ 2-x-1 = 0?

La ecuación [matemática] x ^ 2 – x – 1 = 0 [/ matemática] no incluye [matemática] n [/ matemática], por lo que la pregunta no tiene el sentido dado. Mirando la redacción, supongo que podría haber querido decir: ¿hay alguna [matemática] n> 2 [/ matemática] tal que haya una solución a la ecuación [matemática] x ^ n – x – 1 = 0 [/ matemática] ?

La respuesta corta es sí: [matemáticas] x ^ n – x – 1 [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] y como tal tendrá raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] (valores de [matemática] x [/ matemática] para la cual el polinomio se evalúa a 0). A veces parecerá que hay menos de [matemáticas] n [/ matemáticas] porque una o más de las raíces pueden repetirse, pero siempre habrá al menos una y tantas como [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces distintas.

Sin embargo, algunas (o todas) de las raíces pueden ser números complejos. De hecho, una de las principales motivaciones para extender nuestros números para incluir valores “complejos” fue darnos una forma de representar y trabajar con todas las raíces de los polinomios. Entonces, la pregunta podría ser: ¿hay siempre al menos una raíz real de [matemáticas] x ^ n – x – 1 [/ matemáticas]? Y la respuesta a eso, como sucede, también es sí. Una prueba sigue.

Suponga que [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] x ^ n – x – 1 [/ math] es continuo en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Para grandes positivos [matemáticas] x [/ matemáticas] el término [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] domina, y también es grande y positivo. Entonces podemos encontrar [matemática] k> 0 [/ matemática] tal que [matemática] x> k \ implica x ^ n – x – 1> 0 [/ matemática]. Pero cuando [math] x = 0 [/ math] tenemos [math] x ^ n – x – 1 = -1 <0 [/ math], entonces, según el teorema del valor intermedio, debe haber un [math] x \ in (0, k) [/ math] para el cual [math] x ^ n – x – 1 = 0 \ [/ math] QED .

Entonces, por cada [matemática] n> 2 [/ matemática] habrá al menos una solución real a la ecuación [matemática] x ^ n – x – 1 = 0 [/ matemática].

No, no hay ninguno.

La ecuación es de la forma

[matemáticas] f (x) = 0, [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 -x-1. [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] f (2) = 1> 0 [/ matemáticas]. La derivada es [matemática] f ‘(x) = 2x-1 [/ matemática]. Esto es positivo para [math] x \ geq 2 [/ math], la función está creciendo. Esto significa que es positivo para cualquier [matemática] x \ geq 2 [/ matemática], por lo que no se cumple la ecuación, es decir, no es una solución.

, por ejemplo, existe una solución para

[matemáticas] x ^ 2 – x -1 = 0 [/ matemáticas]

si n = 3, o cualquier otro número para el caso! El problema es que no has definido cuidadosamente tus variables. No hay n involucrado en

[matemáticas] x ^ 2 – x -1 = 0 [/ matemáticas],

obviamente, no importa qué n exista, existe una solución para esa ecuación. La forma correcta de preguntar esto sería ‘¿hay una x> 2 tal que

[matemática] x ^ 2 – x -1 = 0 [/ matemática] [matemática]? ‘[/ matemática]

Para obtener una respuesta a esa pregunta, puede leer las otras respuestas escritas por personas útiles mucho menos pedantes que yo.

Ninguno.

Esta es una ecuación simple de 2. grados (de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a ≠ 0). En esta ecuación a = 1, b = -1 y c = -1.

Por lo tanto, se puede resolver de inmediato. Primero se encuentra el discriminante:

d = b ^ 2−4ac = (-1) ^ 2–4 * 1 * (- 1) = 5. Debido a que el discriminante es positivo, tenemos dos soluciones.

[matemáticas] x = (-b +/- sqrt (d)) / (2a) = (1 +/- sqrt (5)) / 2 [/ matemáticas]

Las soluciones son -0,618 o 1,618, aproximadas.