Lo que ha escrito allí son las ecuaciones de campo de Einstein, en ausencia de una constante cosmológica, y con las unidades normalizadas de modo que no haya un prefactor delante de [math] T _ {\ mu \ nu} [/ math].
La forma habitual de escribirlo es:
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4 } T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Dónde:
- [matemática] R _ {\ mu \ nu} [/ matemática] es la curvatura de Ricci (una función compleja de [matemática] g _ {\ mu \ nu} [/ matemática])
- [matemática] R = R_ \ sigma ^ \ sigma [/ matemática] es el escalar de Ricci formado al contraer lo anterior
- [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] es el tensor métrico (la respuesta de Jack Fraser a ¿Qué es un tensor métrico?)
- [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es el término cosmológico constante / energía oscura
- [matemáticas] G [/ matemáticas] es la constante gravitacional de Newton
- [matemáticas] T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] es el tensor de estrés-energía (contiene información sobre la presencia de masa, momento, energía y presión)
Hay formas complicadas de derivar esto, y hay formas simples de derivar esto.
La manera simple (y una forma que vale ~ 10 marcas en mi papel GR de 50 marcas) es hacer lo siguiente:
Afirmamos dos declaraciones:
- La curvatura del espacio depende linealmente del contenido de energía del espacio, por lo tanto, [matemática] G _ {\ mu \ nu} = C T _ {\ mu \ nu} [/ matemática]
- La energía y el momento son cantidades conservadas
Se puede demostrar que ambas afirmaciones son suposiciones razonables de una variedad de otras fuentes, por lo que no son suposiciones totalmente descabelladas (las formas más complejas de hacer esto reducen estas suposiciones a suposiciones más básicas, pero si queremos hacer lo de manera fácil, ¡tenemos que darlos por sentado!)
El objetivo ahora es descubrir qué es [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], sabemos que es la curvatura del espacio, por lo que debe ser una función de [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} [/ math], ya que la métrica espacio-tiempo es lo que define la curvatura y las distancias en un espacio (¡no es casualidad que ambos usen ‘g’!)
Ahora pasamos a nuestra otra condición: la conservación de la energía.
En la mecánica clásica normal, podemos expresar las leyes de conservación como:
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} – \ nabla \ cdot \ vec {j} = 0 [/ matemáticas]
Donde [math] u [/ math] es la densidad de una cantidad, y [math] \ vec {j} [/ math] es el flujo (corriente) de esa densidad, esa ecuación dice:
La velocidad a la que cambia la densidad en una región debe ser igual a la velocidad a la que la densidad abandona la región
¡Lo cual es claramente una declaración de conservación!
¡Por supuesto, aquellos de ustedes que han estudiado relatividad especial ahora estarán aprovechando la oportunidad para presumir!
Si formamos un vector 4:
[matemáticas] J ^ \ mu = \ left (\ begin {matrix} uc \\ \ vec {j} \ end {matrix} \ right) [/ math]
Entonces:
[math] \ partial_ \ mu J ^ \ mu = \ mp \ frac {\ partial u} {\ partial t} \ pm \ nabla \ cdot \ vec {j} [/ math]
(¡[Math] \ pm / \ mp [/ math] depende de la forma en que elija su firma métrica!)
De cualquier manera, si ponemos esto a cero, ¡vemos que esta es nuestra ley de conservación!
[matemáticas] \ parcial_ \ mu J ^ \ mu = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, podemos extender esta idea hacia fuera general-relatividad-energía-tensor.
En lugar de un vector simple, esta es en realidad una matriz de 4 por 4, pero eso realmente no cambia nada, el único cambio importante que debemos tener en cuenta es que debemos pasar de la derivada normal de espacio plano a La derivada covariante .
Esto es cierto para casi todo: si tiene una fórmula especial de relatividad y desea saber cómo se ve en GR, realice los siguientes cambios:
- Reemplace cada aspecto de la métrica de Minkowski con una métrica general [matemática] g [/ matemática]:
- [matemáticas] \ eta _ {\ mu \ nu} \ mapsto g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Reemplace cada aparición de una derivada habitual con la derivada covariante:
- [matemáticas] \ parcial_ \ mu \ mapasto \ nabla_ \ mu [/ matemáticas]
- (Algunas personas también usan la notación [matemáticas] \ nabla_ \ mu A ^ \ nu = A ^ \ nu _ {; \ mu} [/ matemáticas])
Usando este conocimiento, por lo tanto, podemos escribir la ecuación GR para la conservación de la energía y el impulso como:
[matemáticas] \ nabla_ \ mu T ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas]
Huh, pero eso debe significar que:
[matemáticas] \ nabla_ \ mu G ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas]
También, ¡ya que son linealmente proporcionales entre sí!
Todo lo que tenemos que hacer ahora es encontrar alguna función de [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] que obedece
[matemáticas] \ nabla_ \ mu f ^ {\ mu \ nu} (g) = 0 [/ matemáticas]
Por supuesto, hay un caso trivial, ya que:
[matemáticas] \ nabla_ \ mu g ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas]
Es idénticamente verdadero para todos [math] g [/ math].
De aquí proviene el término constante cosmológico: si encuentra una expresión para [math] f [/ math], siempre puede agregarle [math] C \ times g _ {\ mu \ nu} [/ math], ( donde C es una constante), y seguirá obedeciendo [math] \ nabla_ \ mu f = 0 [/ math], porque la derivada covariante es una función lineal.
Entonces, tenemos un término de orden cero:
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = \ Lambda g _ {\ mu \ nu} +… [/ matemáticas]
Desafortunadamente, obtener los términos de orden superior es un poco complicado.
Los únicos ingredientes que tiene sentido tener en los términos de orden superior son [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] y varios derivados. Podríamos comenzar a adivinar un lío terriblemente complicado de términos como [matemática] \ parcial ^ \ sigma \ parcial_ \ mu g _ {\ sigma \ nu} [/ matemática] y seguir agregando términos que tengan los índices netos correctos, y luego Intente resolver los diversos prefactores de cada término.
Entonces podríamos construir el orden de la teoría por orden (combinaciones de primera derivada, segunda derivada, etc.) y esperamos que cada orden ofrezca contribuciones cada vez más pequeñas, de modo que pueda aproximar todas las órdenes más altas como cero.
Sin embargo, hay una manera mucho más fácil: implica el uso de un conjunto de identidades matemáticas llamadas Identidades de Bianchi.
Mi profesor afirmó que si Einstein hubiera sabido acerca de estas identidades (y de hecho ya habían sido probadas para entonces), podría haber derivado la Relatividad General un año o dos antes, ¡fue una gran desgracia que no las conociera! No sé qué tan cierto es esto, pero tiene sentido cuando lo ves.
Para llegar al meollo del asunto:
La derivada covariante toma la forma:
[matemáticas] \ nabla_ \ sigma T ^ {\ mu \ nu} = \ partial_ \ sigma T ^ {\ mu \ nu} + \ Gamma ^ \ mu _ {\ sigma \ eta} T ^ {\ eta \ nu} + \ Gamma ^ \ nu _ {\ sigma \ epsilon} T ^ {\ mu \ epsilon} [/ math]
Donde [math] \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} [/ math] son los símbolos de Christoffel, una función de [math] g [/ math]
[matemáticas] \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} = \ frac {g ^ {\ lambda \ sigma}} {2} \ left (\ partial_ \ mu g _ {\ nu \ sigma} + \ partial_ \ nu g_ {\ mu \ sigma} – \ partial_ \ sigma g _ {\ mu \ nu} \ right) [/ math]
Si luego toma el conmutador de la derivada covariante consigo mismo:
[matemáticas] \ left (\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu – \ nabla_ \ nu \ nabla_ \ mu \ right) V ^ \ sigma \ equiv R ^ \ sigma _ {\ eta \ mu \ nu} V ^ \ eta [/ matemáticas]
El resultado se conoce como tensor de curvatura de Riemann.
Si contrae contra el tercer índice, obtiene:
[matemáticas] R ^ {\ sigma} _ {\ mu \ sigma \ nu} \ equiv R _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Nuestro amigo el tensor Ricci! Sin embargo, nos estamos adelantando un poco.
La segunda identidad de Bianchi establece que:
[matemáticas] \ nabla_ \ epsilon R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} + \ nabla_ \ gamma R _ {\ alpha \ beta \ delta \ epsilon} + \ nabla_ \ delta R _ {\ alpha \ beta \ epsilon \ gamma} = 0 [/ matemáticas]
A continuación, puede jugar con esta identidad durante siglos, pero si sube uno de los índices y explota las propiedades de simetría de [math] R [/ math], encontrará que esta identidad es igual a:
[matemáticas] \ nabla_ \ mu \ left (R g ^ {\ mu \ nu} – 2R ^ {\ mu \ nu} \ right) = 0 [/ math]
Que, si lo reorganizas:
[matemáticas] \ nabla_ \ mu \ left (R ^ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g ^ {\ mu \ nu} \ right) = 0 [/ matemáticas]
¡Esto debe significar que entra en el tensor de gravitación!
Lo insertamos:
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = \ Lambda g _ {\ mu \ nu} + \ left (R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} \ right ) [/matemáticas]
¡Debido a la forma en que se ha construido, se garantiza que obedecerá a la conservación de la energía!
Por supuesto, hay otros términos que podríamos incluir: no hay una razón a priori por la que no debamos continuar por el agujero del conejo e incluir términos como [matemáticas] \ nabla_ \ sigma \ nabla ^ \ gamma \ nabla_ \ alpha \ nabla ^ \ alpha R_ \ gamma ^ \ sigma [/ math] – 5ta y 6ta derivadas de [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] – siempre que podamos combinarlas de manera que [math] \ nabla_ \ mu G ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ math], se pueden agregar (esto generalmente se expresa a través de términos adicionales en la acción, que es una forma más elegante, creo, pero el principio es el mismo).
Sin embargo, por lo que observamos del universo, los prefactores que irían delante de estos términos son inimaginablemente pequeños, por lo que los ignoramos (por ahora).
Por lo tanto, hemos demostrado que:
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} Rg _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = C T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Es la ecuación correcta (al segundo orden en [matemáticas] \ parcial g [/ matemáticas])
Para descubrir qué es [matemática] C [/ matemática], debes comparar con el universo : ¡no puedes derivar todo de las matemáticas!
La forma más fácil de hacer esto es notar que alguien ya ha hecho algunas comparaciones por usted, un pequeño tipo llamado Isaac Newton . Sabemos que la gravedad newtoniana funciona muy bien en escalas pequeñas, por lo que nuestra nueva teoría debería simplificarse a la gravedad newtoniana en el caso de campo débil.
Si no fuera así, predeciría resultados diferentes a la gravedad newtoniana en el límite de campo débil, ¡pero podemos ver que la gravedad newtoniana predice bien!
Si revisa las matemáticas (no voy a hacer eso aquí, es bastante aburrido, y no se obtiene una visión especial), descubra que:
[matemáticas] C = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} [/ matemáticas] es la constante que necesitas para hacer que esta teoría prediga la gravedad newtoniana.
Por lo tanto, al considerar cuidadosamente qué ingredientes tiene sentido incluir en nuestra teoría, y la aplicación de algunos conocimientos sobre cómo se ve el universo a partir de los resultados experimentales, hemos demostrado que:
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} Rg _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} [/ math]
Tah-dah!
