Esta es divertida.
Comencemos tomando la derivada con respecto a [math] x [/ math] de ambos lados:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ sin (x + y) \ left (1+ \ frac {dy} {dx} \ right) [/ math]
Tenga en cuenta que solo tenemos la derivada de [math] y [/ math] con respecto a [math] x [/ math] aquí, por lo que podemos escribir [math] y ‘= \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] sin introducir confusión:
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- ¿Cómo se deriva la ecuación [math] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R ^ \ sigma_ \ sigma g _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} [/ math]?
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[matemática] y ‘= – \ sin (x + y) (1 + y’) [/ matemática]
Reescribiendo esto:
[matemáticas] y ‘(1 + \ sin (x + y)) = – \ sin (x + y) [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= – \ frac {\ sin (x + y)} {1+ \ sin (x + y)} [/ matemáticas]
La línea dada tiene una pendiente igual a [matemática] – \ frac {1} {2} [/ matemática]. Por lo tanto, queremos encontrar [matemáticas] x, y [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] y ‘= – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Esto nos da:
[matemáticas] \ frac {\ sin (x + y)} {1+ \ sin (x + y)} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
El único valor posible de [math] \ sin (x + y) [/ math] que hace que esta retención sea [math] 1 [/ math]. Esto implica que [math] \ cos (x + y) = 0 [/ math], ya que [math] \ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha = 1 \ forall \ alpha [/ math], incluyendo [ matemáticas] \ alpha = (x + y) [/ matemáticas].
Pero, nuestra ecuación original nos dice que [matemática] y = \ cos (x + y) [/ matemática], entonces obtenemos que [matemática] y = 0 [/ matemática]. Esto significa que solo necesitamos encontrar esos valores de [math] x [/ math] de modo que [math] \ cos (x) = 0 [/ math]. En el intervalo dado, los valores válidos de [math] x [/ math] son [math] – \ frac {3 \ pi} {2}, – \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} [/ matemáticas].
Ahora, para [math] x = – \ frac {\ pi} {2} [/ math] y [math] x = \ frac {3 \ pi} {2} [/ math], la pendiente de la curva diverge (la línea tangente es vertical), por lo que podemos descartar estos valores (en todo el álgebra anterior se introdujeron algunas soluciones extrañas).
Los otros dos valores para [math] x [/ math] dan líneas tangentes válidas.
La forma más clara de escribir ecuaciones para ellos sería escribir [math] y = – \ frac {1} {2} \ left (x – \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math] y [math ] y = – \ frac {1} {2} \ left (x + \ frac {3 \ pi} {2} \ right) [/ math].