¿Cómo se resuelve la ecuación [matemáticas] 1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tengamos [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] 1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0 \ Flecha derecha 1 + y + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que estoy escribiendo if, pero no if y only if ya que aún tendremos que comprobar que hay una [math] x [/ math] tal que [math] x ^ 2 = y [/ math]

Resolver [matemáticas] y ^ 2 + y + 1 = 0 [/ matemáticas] es simple. Lo haremos completando el cuadrado

[matemáticas] \ begin {align} y ^ 2 + y + 1 = 0 & \ Leftrightarrow (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 + \ frac {3} {4} = 0 \\ & \ Leftrightarrow ( y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = – \ frac {3} {4} \ end {align} [/ math]

Aquí llegamos a nuestra primera conclusión: no hay

[matemática] y \ in \ mathbb R, (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = – \ frac {3} {4} [/ matemática]

Entonces, si está resolviendo para [math] x \ in \ mathbb R [/ math], no hay solución.

Si está resolviendo para [math] x \ in \ mathbb C [/ math] ahora, entonces obtiene

[matemáticas] \ begin {align} (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = (i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) ^ 2 & \ Leftrightarrow y + \ frac {1} { 2} = \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ Leftrightarrow y = – \ frac {1} {2} \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} [/ math]

Obviamente, tenemos dos valores de [math] y [/ math] y obtendremos dos valores de [math] x [/ math] para cada valor de [math] y [/ math]. Pero antes de entrar en cálculos complicados, uno debe notar que

[matemáticas] \ izquierda | y \ derecha | = \ sqrt {(\ frac {1} {2}) ^ 2 + (\ frac {\ sqrt {3}} {2}) ^ 2} = \ sqrt {\ frac {1} {4} + \ frac { 3} {4}} = \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas]

Entonces podemos encontrar [math] \ theta [/ math] tal que [math] y = e ^ {i \ theta} [/ math]. Pero, ¿cuál es el valor de [math] \ theta [/ math]?

Bueno, sabemos que [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]

Entonces obtenemos [matemáticas] \ cos \ theta = – \ frac {1} {2} \ Leftrightarrow \ theta = \ pm \ frac {2 \ pi} {3} \ Leftrightarrow \ sin \ theta = \ frac {\ sqrt { 3}} {2} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] x ^ 2 = e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3} + 2k \ pi} \ Leftrightarrow x = e ^ {i \ frac {\ pi} {3} + k \ pi} \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 = e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3} + 2k \ pi} \ Leftrightarrow x = e ^ {- i \ frac {\ pi} {3} + k \ pi} \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {- i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]

Y, como conclusión

[matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2 + 1 = 0 \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3}}, e ^ {- i \ frac {\ pi} { 3}}, e ^ {i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]

O si quieres una notación cartesiana

[matemática] x ^ 4 + x ^ 2 + 1 = 0 \ Leftrightarrow x \ in \ {- \ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, – \ frac {1 } {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \} [/ math]

Answer 2

Primero note que 1 y -1 no son las soluciones. Por lo tanto, es seguro multiplicar por [matemáticas] (x ^ 2–1) [/ matemáticas] y aún así obtener todos los ceros originales como valores separados.

[matemáticas] (x ^ 2–1) (1 + x ^ 2 + x ^ 4) = x ^ 6-1 = 0 [/ matemáticas]

Las soluciones de lo anterior siempre tienen la forma [matemática] \ pm (-1) ^ {\ frac {p} {q}} [/ matemática] solo necesita encontrar todas las p y q.

En nuestro caso, las seis soluciones son [matemáticas] 1, -1, (-1) ^ {\ frac {1} {3}}, – (- 1) ^ {\ frac {1} {3}}, (- 1) ^ {\ frac {2} {3}}, – (- 1) ^ {\ frac {2} {3}} [/ math]

Ahora 1 y -1 pertenecen a la parte [math] (x ^ 2–1) [/ math] agregada, por lo que los ceros que pertenecen a [math] 1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0 [/ math] son ​​[math ] (- 1) ^ {\ frac {1} {3}}, – (- 1) ^ {\ frac {1} {3}}, (-1) ^ {\ frac {2} {3}}, – (- 1) ^ {\ frac {2} {3}} [/ math]

Hay diferentes formas de representar estas soluciones. Por ejemplo

[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac {1} {3}} = e ^ {\ frac {i \ pi} {3}} = \ frac {1} {2} (1 + i \ sqrt {3 })[/matemáticas]

Puedes intentar encontrar expresiones similares para las restantes.

Answer 3

Sobre los números reales este no tiene solución.

[matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] x ^ 4 [/ matemática] son ​​siempre números no negativos.

entonces [matemáticas] 1 + x ^ 2 + x ^ 4> 0 [/ matemáticas].

Sobre números complejos lo resuelve como una ecuación de segundo orden:

Deje [math] y = x ^ 2 [/ math]

[matemáticas] 1 + y + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {-1 ± \ sqrt {1–4}} {2} = \ dfrac {-1 ± \ sqrt {-3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = ± \ sqrt {\ dfrac {-1 ± \ sqrt {-3}} {2}} [/ matemáticas]

Answer 4

Aquí,

[matemáticas] \ begin {align} & 1 + x² + x⁴ = 0 \\ & \ implica x⁴ + x² + 1 = 0 \\ & \ implica (x²) ² + 2 × x² × \ dfrac {1} {2} + \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ² + 1- \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ² = 0 \\ & \ implica (x² + \ dfrac {1} {2 }) ² + 1- \ dfrac {1} {4} = 0 \\ & \ implica \ left (x² + \ dfrac {1} {2} \ right) ² + \ dfrac {3} {4} = 0 \ \ & \ implica \ left (x² + \ dfrac {1} {2} \ right) ² = – \ dfrac {3} {4} \\ & \ implica x² + \ dfrac {1} {2} = ± \ dfrac {\ sqrt {-3}} {2} \\ & \ implica x² = – \ dfrac {1} {2} ± \ dfrac {\ sqrt {-3}} {2} \\ & \ implica x = \ bbox [borde: 2pt sólido # 01f] {\ bbox [# AFA, 10px] {± \ sqrt {\ dfrac {-1 ± \ sqrt {-3}} {2}}}} \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ Enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 5

Ecuaciones Biquadraticas

No solo su respuesta, cualquier ecuación biquadiátrica (ecuación de 4to grado con el término [matemática] x ^ 2) [/ matemática] nula, puede resolverse con este algoritmo

Ecuaciones Biquadraticas

Answer 6

Honestamente, me sorprendió ver las otras respuestas, son demasiado complicadas.

1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0

x ^ 2 + x ^ 4 = -1

Pero como todos sabemos, cualquier cosa ^ 2 y cualquier cosa ^ 4 es ≥0. Entonces, es imposible que x ^ 2 + x ^ 4 sea igual a un menos. Entonces no existe ningún valor numérico de x.

Answer 7

y = x ^ 2

Entonces se convierte en una ecuación cuadrática con respecto a y.