Tengamos [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] 1 + x ^ 2 + x ^ 4 = 0 \ Flecha derecha 1 + y + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que estoy escribiendo if, pero no if y only if ya que aún tendremos que comprobar que hay una [math] x [/ math] tal que [math] x ^ 2 = y [/ math]
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Resolver [matemáticas] y ^ 2 + y + 1 = 0 [/ matemáticas] es simple. Lo haremos completando el cuadrado
[matemáticas] \ begin {align} y ^ 2 + y + 1 = 0 & \ Leftrightarrow (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 + \ frac {3} {4} = 0 \\ & \ Leftrightarrow ( y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = – \ frac {3} {4} \ end {align} [/ math]
Aquí llegamos a nuestra primera conclusión: no hay
[matemática] y \ in \ mathbb R, (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = – \ frac {3} {4} [/ matemática]
Entonces, si está resolviendo para [math] x \ in \ mathbb R [/ math], no hay solución.
Si está resolviendo para [math] x \ in \ mathbb C [/ math] ahora, entonces obtiene
[matemáticas] \ begin {align} (y + \ frac {1} {2}) ^ 2 = (i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) ^ 2 & \ Leftrightarrow y + \ frac {1} { 2} = \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ Leftrightarrow y = – \ frac {1} {2} \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} [/ math]
Obviamente, tenemos dos valores de [math] y [/ math] y obtendremos dos valores de [math] x [/ math] para cada valor de [math] y [/ math]. Pero antes de entrar en cálculos complicados, uno debe notar que
[matemáticas] \ izquierda | y \ derecha | = \ sqrt {(\ frac {1} {2}) ^ 2 + (\ frac {\ sqrt {3}} {2}) ^ 2} = \ sqrt {\ frac {1} {4} + \ frac { 3} {4}} = \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas]
Entonces podemos encontrar [math] \ theta [/ math] tal que [math] y = e ^ {i \ theta} [/ math]. Pero, ¿cuál es el valor de [math] \ theta [/ math]?
Bueno, sabemos que [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]
Entonces obtenemos [matemáticas] \ cos \ theta = – \ frac {1} {2} \ Leftrightarrow \ theta = \ pm \ frac {2 \ pi} {3} \ Leftrightarrow \ sin \ theta = \ frac {\ sqrt { 3}} {2} [/ matemáticas]
Entonces tenemos
[matemáticas] x ^ 2 = e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3} + 2k \ pi} \ Leftrightarrow x = e ^ {i \ frac {\ pi} {3} + k \ pi} \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]
[matemáticas] x ^ 2 = e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3} + 2k \ pi} \ Leftrightarrow x = e ^ {- i \ frac {\ pi} {3} + k \ pi} \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {- i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]
Y, como conclusión
[matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2 + 1 = 0 \ Leftrightarrow x \ in \ {e ^ {- i \ frac {2 \ pi} {3}}, e ^ {- i \ frac {\ pi} { 3}}, e ^ {i \ frac {\ pi} {3}}, e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} \} [/ math]
O si quieres una notación cartesiana
[matemática] x ^ 4 + x ^ 2 + 1 = 0 \ Leftrightarrow x \ in \ {- \ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, – \ frac {1 } {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \} [/ math]