La ecuación cuadrática general es
[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]
Aquí [math] x [/ math] representa un desconocido, mientras que [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] son constantes con [math] a \ neq0 [/ math].
Método 1 :
- Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son las raíces de la ecuación [matemática] x ^ 2-2px + q = 0 [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son las raíces de la ecuación [matemática] x ^ 2-2rx + s = 0 [/ matemática], y [matemática] ad = bc [/ matemática], ¿cómo pruebo [matemática] p ^ 2s = r ^ 2q [/ matemáticas]?
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- ¿Cuál será la cuarta raíz (en términos de [matemáticas] p, q, r, s [/ matemáticas]) de la ecuación [matemáticas] x ^ 4-px ^ 3 + qx ^ 2-rx + s = 0 [/ matemática] si [matemática] \ tan [/ matemática] [matemática] A, \ tan B, \ tan C [/ matemática] son otras raíces donde [matemática] A, B, C [/ matemática] son ángulos de [matemática] \ triángulo [/ matemáticas]?
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Larry Hoehn en 1975, completar el cuadrado se puede lograr mediante una secuencia diferente que conduce a una secuencia más simple de términos intermedios: (1) multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas], (2) reorganice, (3) luego agregar [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas].
En otras palabras, la fórmula cuadrática se puede derivar de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ (2ax + b) ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ 2ax + b & = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \\ 2ax & = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
Dividiendo por [matemáticas] 2a [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]
Método 2:
El matemático Sridhar Acharya también resolvió la ecuación.
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx & = -c \\ x ^ 2 + \ frac bax & = – \ frac ca \\ x ^ 2 + \ frac bax + \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2 & = \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2- \ frac ca \\\ left (x + \ frac ba \ right) ^ 2 & = \ frac {b ^ 2 } {4a ^ 2} – \ frac ca \\ x + \ frac ba & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca} \ end {align *} \ tag * { }[/matemáticas]
Aislando [math] x [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]
Método 3:
[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
vamos, las raíces de la cuadrática son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].
Entonces,
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 \\ & \ implica x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Comparando ambas ecuaciones, [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math]. Entonces,
[matemáticas] \ displaystyle \ alpha- \ beta = \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {4c} a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} a \ etiqueta * {} [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ alpha = – \ frac b {2a} + \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \\ & \ beta = – \ frac b { 2a} – \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
Cada una de las soluciones dadas por la fórmula cuadrática se llama raíz de la ecuación cuadrática. Geométricamente, estas raíces representan los valores de x en los cuales cualquier parábola , dada explícitamente como y = ax2 + bx + c, cruza el eje x. Además de ser una fórmula que producirá los ceros de cualquier parábola, la ecuación cuadrática dará el eje de simetría de la parábola, y se puede usar para determinar de inmediato cuántos ceros tiene.
El discriminante (da información sobre la naturaleza de sus raíces )
D = b ^ 2 -4 * a * c
si D> 0; entonces dos raíces reales distintas
si D = 0; entonces las raíces son iguales, lo que significa dos raíces reales coincidentes x1 = x2 = -b / 2a
si D <0; dos raíces complejas distintas
Para más consulta:
Fórmula cuadrática – Wikipedia
http://animated-mathematics.net/…
