Cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus ceros y un punto

Answer 1

En general, no puedes.

Aquí hay ecuaciones para dos parábolas diferentes:

[matemáticas] y = x ^ 2-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x + 1 [/ matemáticas]

La primera ecuación describe una parábola cuyo eje es vertical; La segunda ecuación describe una parábola cuyo eje es horizontal. La primera ecuación cruza el eje [matemático] x [/ matemático] en dos lugares, y cruza el eje [matemático] y [/ matemático] en un lugar. La segunda ecuación cruza el eje [matemático] x [/ matemático] en un lugar y el eje [matemático] y [/ matemático] en dos lugares.

También es posible tener una parábola cuyo eje está en diagonal, lo que podría cruzar ambos ejes dos veces, o ninguno de los ejes, o un eje dos veces y tocar el otro.

La forma general de la ecuación de una parábola es:

[matemáticas] Ax ^ 2 \ pm 2 \ sqrt {| AC |} xy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 [/ matemáticas]

Si me dan tres puntos, [matemáticas] (x_1,0), (x_2,0), (x_3, y_3) [/ matemáticas], que es lo que tengo si tengo “son ceros y un punto”, puedo simplifique esto en tres ecuaciones lineales en 5 incógnitas, lo que significa que puedo resolver tres de ellas, digamos [matemáticas] D, E, F [/ matemáticas], en términos de las otras dos [matemáticas] A, C [/ matemáticas] . Esto significa que hay un número infinito de parábolas que pasan por los tres puntos dados. Para estar absolutamente seguro de obtener una parábola, necesitará 4 o 5 puntos, no 3.

La mayoría de las otras respuestas suponen que se trata de una parábola que satisface la ecuación [math] y = ax ^ 2 + bx + c [/ math], que se asigna a la forma general si establecemos [math] C = 0, E = 1 [/ matemáticas]. Esto le permite resolverlo utilizando solo tres puntos, no cinco.

Answer 2

Para responder a esta pregunta, tengo que hacer ciertas suposiciones. Primero, voy a suponer que estás hablando de la gráfica de una función cuadrática y, por lo tanto, de una parábola que se abre o baja. En segundo lugar, voy a suponer que se le dan dos ceros reales, que representan los valores de x de los puntos donde la parábola cruza el eje x (también llamados intersecciones o raíces x). Tercero, voy a suponer que el punto dado no es el vértice de tal parábola. Con esta información, ahora puede decidir cuál de las siguientes tres formas de ecuación cuadrática usaría:

1) y = ax ^ 2 + bx + c

2) y = a (x – h) ^ 2 + k

3) y = a (x – r₁) (x – r₂)

Debido a que le dan las dos raíces o ceros, la ecuación más fácil de usar es la tercera. Desearía usar el segundo si se le dio el vértice, y desearía usar el primero si se le otorgan tres puntos aleatorios. Supongamos que las raíces o ceros dados son x1 = -1, x2 = 4, y el punto dado es (6, 7). Entonces, por sustitución, primero obtendría lo siguiente:

y = a (x – -1) (x – 4) o y = a (x + 1) (x – 4).

Ahora sustituya las coordenadas x e y desde el punto dado para resolver a:

7 = a (6 + 1) (6 – 4) —-> 7 = a (7) (2) —-> 7 = 14a —-> por lo tanto, a = 0.5 o 1/2.

En consecuencia, su ecuación cuadrática en forma de raíz será …

y = 0.5 (x + 1) (x – 4) o y = 0.5 * x ^ 2 – 1.5x – 2 en forma expandida.

Espero que esto haya ayudado a responder tu pregunta.

Answer 3

El promedio de los ceros es -b / 2a y la distancia entre los ceros es sqrt (b ^ 2–4ac) / a. Usando esto puedes resolver las razones b / a y c / a. La ecuación para la parábola se puede escribir como y = a (x ^ 2 + b / a * x + c / a). Ahora solo inserte los valores que encontró antes junto con el otro punto xy en la parábola para resolver a. Ahora puede regresar y encontrar los valores para byc.

Answer 4

Una parábola seguirá la forma [matemática] y = r (x-x_1) (x-x_2) [/ matemática] donde [matemática] r [/ matemática] es una constante, y [matemática] x_1 [/ matemática] y [math] x_2 [/ math] son ​​las raíces de las funciones. Entonces, si nos dan ceros de una función, puede conectarlos a la ecuación. Ahora tiene todo, excepto [matemáticas] r [/ matemáticas]. Ahora para un punto en la curva [matemática] (x, y) [/ matemática] donde [matemática] x [/ matemática] está debajo [matemática] x_1 [/ matemática] o [matemática] x_2 [/ matemática], puede inserte [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] en la ecuación y resuelva algebraicamente para [matemática] r [/ matemática]. Luego, si lo desea, puede expandir la ecuación para ponerla en la forma más estándar [matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática].

Answer 5

Deje que los ceros sean [math] r_1 [/ math] y [math] r_2 [/ math]. La ecuación de una parábola que pasa por esos dos ceros es

[matemáticas] ~~~~~ y = a (x-r_1) (x-r_2) [/ matemáticas]

Ahora, si [math] (h, k) [/ math] da un punto en la parábola, entonces

[matemáticas] ~~~~~ k = a (h-r_1) (h-r_2) [/ matemáticas],

entonces, suponiendo que [math] h [/ math] no sea uno de los ceros,

[matemáticas] ~~~~~ a = \ dfrac {k} {(h-r_1) (h-r_2)} [/ matemáticas]

En conjunto, la ecuación de la parábola que estás buscando es

[matemáticas] ~~~~~ y = \ dfrac {k (x-r_1) (x-r_2)} {(h-r_1) (h-r_2)} [/ matemáticas]

Ejemplo: aplicar la fórmula

Supongamos, por ejemplo, que los ceros son [matemática] 1 \ pm \ sqrt {11} [/ matemática] y el punto en la parábola es [matemática] (4, −6) [/ matemática]. Al conectarlos, obtenemos la ecuación,

[matemáticas] ~~~~~ y = \ dfrac {-6 (x-1- \ sqrt {11}) (x-1 + \ sqrt {11})} {(4-1- \ sqrt {11}) (4-1 + \ sqrt {11})} [/ matemáticas]

En el numerador, tenemos

[matemáticas] ~~~~~ (x-1- \ sqrt {11}) (x-1 + \ sqrt {11}) = x ^ 2-2x-10 [/ matemáticas],

y en el denominador, tenemos

[matemáticas] ~~~~~ (4-1- \ sqrt {11}) (4-1 + \ sqrt {11}) = 4 ^ 2-2 \ veces 4-10 = -2 [/ matemáticas]

entonces tu ecuación se convierte

[matemáticas] ~~~~~ y = \ dfrac {-6 (x ^ 2-2x-10)} {- 2} = 3x ^ 2-6x-30 [/ matemáticas]

Answer 6

Si x1 y x2 son raíces, puede saberlo como y (x) = K (x-x1) (x-x2). usa el punto dado para encontrar la constante K