Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​las raíces de la ecuación [matemática] x ^ 2-2px + q = 0 [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son ​​las raíces de la ecuación [matemática] x ^ 2-2rx + s = 0 [/ matemática], y [matemática] ad = bc [/ matemática], ¿cómo pruebo [matemática] p ^ 2s = r ^ 2q [/ matemáticas]?

A2A:

En un lapso de 18 horas ya hay 3 respuestas maravillosas, sin embargo, aquí está mi opinión sobre la suma:

[matemáticas] ad = bc [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} [/ matemáticas]

[math] \ text {Usando Componendo-Dividendo obtenemos} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {a + b} {ab} = \ dfrac {c + d} {cd} [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ dfrac {a + b} {\ sqrt {(a + b) ^ 2-4ab}} = \ dfrac {c + d} {\ sqrt {(c + d) ^ 2-4cd}}} [/matemáticas]

Por las fórmulas de Vieta obtenemos:

  • [matemáticas] a + b = 2p [/ matemáticas]
  • [matemáticas] ab = q [/ matemáticas]
  • [matemáticas] c + d = 2r [/ matemáticas]
  • [matemáticas] cd = s [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Sustituyéndolo arriba obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2p} {\ sqrt {4p ^ 2-4q}} = \ dfrac {2r} {\ sqrt {4r ^ 2-4s}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Simplificando y cuadrando obtenemos} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {p ^ 2-q} = \ dfrac {r ^ 2} {r ^ 2-s} [/ matemáticas]

[math] \ text {Al invertir la fracción y simplificarla obtenemos} [/ math]

[matemáticas] 1 – \ dfrac {q} {p ^ 2} = 1 – \ dfrac {s} {r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {En la reordenación final obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {p ^ 2s = r ^ 2q} [/ matemáticas]

Por lo tanto demostrado.

A2A

[matemáticas] a + b = 2p \: \ implica p = \ dfrac {a + b} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \: c + d = 2r \ implica r = \ dfrac {c + d} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = q \ implica a = \ dfrac {q} {b} \: [/ matemáticas] y [matemáticas] \: cd = s \ implica c = \ dfrac {s} {d} \ ldots (2) [/matemáticas]

Usando [math] \ 🙁 2) \: [/ math] en [math] \: [/ math] [math] ad = bc \: [/ math] obtenemos-

[matemáticas] \ dfrac {q} {b} \ cdot d = b \ cdot \ dfrac {s} {d} \ implica \ dfrac {s} {q} = \ dfrac {d ^ 2} {b ^ 2} \ ldots (3) [/ math]

Ahora usando [math] \ 🙁 1) \: [/ math] y [math] \: ([/ math] [math] 3) \: [/ math] tenemos

[matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {r ^ 2} \ cdot \ dfrac {s} {q} = \ bigg [\ dfrac {(a + b) d} {(c + d) b} \ bigg] ^ 2 = \ bigg [\ dfrac {(ad + bd} {(c + d) b} \ bigg] ^ 2 = \ bigg [\ dfrac {(bc + bd} {(c + d) b} \ bigg] ^ 2 = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto probado

(a + b) = 2p y ab = q.

Del mismo modo (c + d) = 2r y cd = s

ahora [matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {r ^ 2} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {(a + b) ^ 2} {(c + d) ^ 2} [/ matemáticas]

Como ad = bc

=> [matemáticas] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {a + b} {b} = \ dfrac {c + d} {d} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ dfrac {a + b} {c + d} = \ dfrac {b} {d} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {r ^ 2} = \ dfrac {b ^ 2} {d ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {b} {d} * \ dfrac {b} {d} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {b} {d} * \ dfrac {a} {c} [/ matemáticas] (como ad = bc así que [matemáticas] \ dfrac {b} {d} = \ dfrac {a} {c }[/matemáticas])

= [matemáticas] \ dfrac {ab} {cd} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {q} {s} [/ matemáticas] (como q = ab y s = cd)

Por lo tanto – [matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {r ^ 2} = \ dfrac {q} {s} [/ matemáticas]

Lo que significa que = [matemáticas] p ^ 2s = r ^ 2q [/ matemáticas]

Como a y b son las raíces de x ^ 2 – 2.px + q = 0

=> (xa). (xb) = x ^ 2 – 2.px + q = 0

=> a + b = 2.p, y ab = q

Similar,

c + d = 2.r, y cd = s

Ahora, para probar (p ^ 2) .s = (r ^ 2) .q

(p ^ 2) .s = [((a + b) / 2) ^ 2] .cd

Después de simplificar y tener en cuenta ad = bc tenemos,

(p ^ 2) .s = [ab (c ^ 2) + (b ^ 2) .cd + 2. (b ^ 2). (c ^ 2)] / 4 ———— (1)

Del mismo modo obtenemos

(r ^ 2) .q = [((c + d) / 2) ^ 2] .ab

= [ab (c ^ 2) + (b ^ 2) .cd + 2. (b ^ 2). (c ^ 2)] / 4 ———— (2)

De (1) y (2) tenemos,

(p ^ 2) .s = (r ^ 2) .q

a + b = 2p, ab = q, c + d = 2r, cd = s, ad = bc

implica abd = bbc

o abdd = bbcd

o abdd + 2abcd = bbcd + 2abcd

o ccab + abdd + 2abcd = bbcd + 2abcd + ccab

pero ccab = caad y abdd = bbdc y bbcd = abdd

o caad + bbcd + 2abcd = abdd + 2abcd + ccab

o cd (aa + bb + 2ab) = ab (dd + cc + 2cd)

o cd (a + b) ^ 2 = ab (c + d) ^ 2

o s (4pp) = q (4rr)

por lo tanto, spp = qrr