Si [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas] son ​​las raíces de la ecuación cúbica [matemáticas] 2010x ^ 3 + 4x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas], entonces cuál será el valor de [matemáticas ] a ^ {- 2} + b ^ {- 2} + c ^ {- 2} [/ matemáticas]?

Answer 1

Poner [math] x = 0 [/ math] en la ecuación no lo satisface, por lo que podemos concluir que [math] a, b, c \ neq 0. [/ Math]

De la ecuación,

[matemáticas] 1 = -2010x ^ 3-4x ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Dividiendo a través de [matemáticas] x ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {- 2} = – 2010x-4 \ tag * {} [/ matemáticas]

Como, esta ecuación es verdadera para [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c, [/ matemáticas] podemos reemplazar [matemáticas] x [/ matemáticas] por [matemáticas] a, b, c. [/ matemáticas] Agregando esas ecuaciones:

[matemáticas] S = a ^ {- 2} + b ^ {- 2} + c ^ {- 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] S = -2010 (a + b + c) -12 \ tag {1} [/ matemática]

De las relaciones de Vieta,

[matemáticas] a + b + c = \ dfrac {- \ text {coeff. de} x ^ 2} {\ text {coeff. de} x ^ 3} = \ dfrac {-4} {2010} \ tag {2} [/ math]

Poniendo [matemáticas] (2) [/ matemáticas] en [matemáticas] (1): [/ matemáticas]

[matemáticas] S = -2010 \ Bigg (\ dfrac {-4} {2010} \ Bigg) -12 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {S = -8} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 2

* A2A: –

[math] \ star [/ math] Entonces, queremos encontrar [math] \ left (\ dfrac {1} {a ^ 2} + \ dfrac {1} {b ^ 2} + \ dfrac {1} {c ^ 2} \ right) [/ math] y sabemos que [math] (a, b, c) [/ math] son ​​las raíces de esta ecuación: –

[matemáticas] \ implica 2010x ^ 3 + 4x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Primero, encontremos la ecuación cuyas raíces son [matemáticas] \ izquierda (\ dfrac {1} {a ^ 2}, \ dfrac {1} {b ^ 2}, \ dfrac {1 } {c ^ 2} \ right) [/ math]. Usaremos la transformación de raíces para este propósito. Tenga en cuenta que :-

[matemáticas] \ implica \ text {Nuevas raíces} = \ dfrac {1} {\ left (\ text {Old Roots} \ right) ^ 2} [/ math]

[matemática] \ implica \ text {Old Roots} = \ dfrac {1} {\ sqrt {\ text {New Roots}}} [/ math]

[math] \ star [/ math] Por lo tanto, Transform [math] x \ to \ dfrac {1} {\ sqrt {x}} [/ math] para obtener: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {2010} {x \ sqrt {x}} + \ dfrac {4} {x} + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica \ dfrac {2010} {x \ sqrt {x}} = – \ left (\ dfrac {4} {x} +1 \ right) [/ math]

[math] \ star [/ math] Cuadrando ambos lados: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ left (2010 \ right) ^ 2} {x ^ 3} = \ left (\ dfrac {16} {x ^ 2} + \ dfrac {8} {x} +1 \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ boxed {x ^ 3 + 8x ^ 2 + 16x- \ left (2010 \ right) ^ 2 = 0} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora esta ecuación tiene las raíces [matemáticas] \ izquierda (\ dfrac {1} {a ^ 2}, \ dfrac {1} {b ^ 2}, \ dfrac {1} {c ^ 2} \ right) [/ math] y lo que queremos no es más que su suma que se puede encontrar fácilmente usando las reglas de Vieta: –

[math] \ implica \ boxed {\ dfrac {1} {a ^ 2} + \ dfrac {1} {b ^ 2} + \ dfrac {1} {c ^ 2} = – 8} [/ math]

Answer 3

En general, si tenemos una ecuación cúbica px ^ 3 + qx ^ 2 + rx + s = 0, donde p ≠ 0 y las raíces son α, β y γ, entonces

α + β + γ = −q / p, αβ + βγ + γα = rp, αβγ = −s / p

Aquí, α = a, β = b, γ = c, p = 2010, q = 4, r = 0, s = 1

a + b + c = -4 / 2010 —-> ecuación (1)

ab + bc + ca = 0 —-> ecuación (2)

abc = -1 / 2010 —-> ecuación (3)

a ^ (- 2) + b ^ (- 2) + c ^ (- 2) = [(ab) ^ 2 + (bc) ^ 2 + (ca) ^ 2] / (abc) ^ 2

= [(ab + bc + ca) ^ 2-2 (acb ^ 2 + abc ^ 2 + cba ^ 2)] / (abc) ^ 2 (como x + y + z) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2xy + 2yz + 2xz)

= [0-2 (acb ^ 2 + abc ^ 2 + cba ^ 2)] / (abc) ^ 2 (de la ecuación (2)

= [- 2abc (a + b + c)] (abc) ^ 2

= [- 2 (a + b + c)] / abc

= [- 2 * (- 4/2010)] / (- 1/2010) de la ecuación (1) y (3)

= -8

Answer 4

[matemáticas] a ^ {- 2} + b ^ {- 2} + c ^ {- 2} [/ matemáticas] = [matemáticas] (1 / a + 1 / b + 1 / c) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] 2 (1 / ab + 1 / bc + 1 / ac) [/ matemáticas]

= [matemáticas] ((ab + bc + ac) / abc) ^ 2 – 2 (a + b + c) / abc [/ matemáticas]

ahora [matemáticas] a + b + c = -4/2010 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab + bc + ac = 0/2010 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] abc = -1/2010 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] a ^ {- 2} + b ^ {- 2} + c ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (-2 * (- 4/2010) / (- 1/2010) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -8 [/ matemáticas]