¿Cuál es la justificación rigurosa para tratar los diferenciales como fracciones al resolver ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Me alegra que estés pensando y cuestionando esto. La lógica es bastante simple en realidad. Hemos estado tan atrapados con fórmulas y métodos que olvidamos lo que realmente significan dy y dx.

dy significa un cambio en y a medida que nos movemos infinitamente a la derecha.

[matemática] dy = (y + k) -y = f (x + h) -f (x) [/ matemática]

(Dado que y es una función de x)

dx significa un pequeño cambio en x a medida que nos movemos infinitamente a la derecha.

[matemáticas] dx = (x + h) -x [/ matemáticas]

Cuando escribimos dy / dx, estamos dividiendo ambas cantidades y luego notamos que

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) -x} [/ matemáticas]

Ahora, cuando y es una función de x y su valor ligeramente a la derecha depende de x entonces, dy / dx ‘tipo de’ adquiere una nueva interpretación … dy / dx ahora puede interpretarse como una función que nos dice cómo y cambia wrt x ..

¡Pero! ¿Esta nueva interpretación de alguna manera anula el significado original de dy o dx como entidad independiente? No lo hace Y, por lo tanto, dy y dx se pueden multiplicar o dividir fácilmente de las ecuaciones como cualquier otra cantidad real.

Entonces, una vez que aislamos dy y dx en los dos lados de la ecuación junto con las funciones en la variable respectiva, todo lo que necesitamos hacer es obtener una forma correcta para que podamos integrar wrt y o x, lo que sea adecuado.

Espero que esto aclare tu duda.

[Tenga en cuenta que lo mismo no es cierto para [math] \: d ^ 2y / dx ^ 2 \: [/ math] simplemente porque se forma de una manera diferente, es decir, al diferenciar wrt x y no al dividir dos cantidades bien definidas !]

Answer 2

Encontré la respuesta a mi pregunta y estoy decidiendo agregarla, ya que podría ser de interés.

[math] \ newcommand {\ d} [0] {\ mathrm {d}} [/ math]

Al resolver una ecuación diferencial ordinaria separable variable,

[matemáticas] \ dfrac {\ dy} {\ dx} = f (x) g (y) \ tag * {} [/ matemáticas]

Podemos cambiar [matemáticas] g (y) [/ matemáticas], si [matemáticas] g (y) \ neq 0. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {g (y)} \ cdot \ dfrac {\ dy} {\ dx} = f (x) \ tag * {} [/ matemáticas]

Asumiendo que ambos lados son integrables,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {g (y)} \ cdot \ dfrac {\ dy} {\ dx} \ dx = \ int f (x) \ dx \ tag * {} [/ math]

Ahora, dejemos que [math] G (y) [/ math] sea una antiderivada de [math] \ dfrac {1} {g (y)}. [/ Math]

Entonces, se desprende de la Regla de la cadena que,

[matemáticas] \ dfrac {\ d} {\ dx} G (y) = \ dfrac {1} {g (y)} \ cdot \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ etiqueta * {} [/ math]

Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo

[matemáticas] G (y) = \ displaystyle \ int f (x) \ dx \ tag * {} [/ matemáticas]