Si la suma del cuadrado de las raíces en la ecuación cuadrática [matemática] 3x ^ 2-4x + k = 0 [/ matemática] es [matemática] 40 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] k [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje que las raíces de la ecuación cuadrática sean [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

La ecuación tiene la forma de [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math].

Sabemos que [matemática] \ alpha + \ beta = – \ dfrac {b} {a} [/ matemática]

Y, [matemáticas] \ alpha \ beta = \ dfrac {c} {a} [/ matemáticas]

Necesitamos encontrar k si [math] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = 40 [/ math].

Del teorema binomial, obtenemos [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2 ab = (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 – 2 ab [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = (\ alpha + \ beta) ^ 2 – 2 \ alpha \ beta [/ math]

Sustituyendo los valores,

[matemáticas] (- \ dfrac {b} {a}) ^ 2 – 2 \ dfrac {c} {a} = 40 [/ matemáticas]

Aquí, [matemática] a = 3 [/ matemática], [matemática] b = -4 [/ matemática], [matemática] c = k [/ matemática]

Así,

[matemáticas] (- \ dfrac {-4} {3}) ^ 2 – 2 \ dfrac {k} {3} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {16} {9} – \ dfrac {6k} {9} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {16 – 6k} {9} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 – 6k = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6k = -344 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = – \ dfrac {172} {3} [/ matemáticas]

Answer 2

La ecuación dada es 3x ^ 2–4x + k = 0.

Deje que las dos raíces sean r1 y r2.

Como la suma de los cuadrados de las raíces es 40, podemos escribir,

r1² + r2² = 40.

Cualquier ecuación cuadrática tendrá la forma:

x² – (Suma de raíces) x + (Producto de raíces) = 0.

En general tomamos una ecuación cuadrática en la forma:

ax² + bx + c = 0 donde a ≠ 0 y a, byc son constantes.

Entonces podemos inferir,

Suma de raíces = -b / a

Producto de raíces = c / a.

r1² + r2² = 40

⇒ (r1 + r2) ² – 2r1r2 = 40

[De (a + b) ² = a² + b² + 2ab]

Aquí, suma de raíces, r1 + r2 = 4/3

Producto de raíces, r1r2 = k / 3

Sustituyendo estos valores, obtenemos

(4/3) ² – 2k / 3 = 40

16/9 – 2k / 3 = 40

-2k / 3 = 40- (16/9)

-2k / 3 = 344/9

k = 344/9 × (-3/2)

k = -344 / (2 × 3)

k = -172/3.

Gracias Eashaan Godbole por corregirme.

Answer 3

Comencemos por lo básico.

Considere una ecuación cuadrática general cuyas raíces son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Entonces, podemos escribir la ecuación en [matemáticas] x [/ matemáticas] como:

[matemáticas] (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 [/ matemáticas].

La ecuación que se nos da es: [matemáticas] 3x ^ 2-4x + k = 0 [/ matemáticas].

Como podemos ver, la suma de las raíces es [matemática] \ frac {4} {3} [/ matemática] y los productos de las raíces es [matemática] \ frac {k} {3} [/ matemática].

Entonces, tenemos [math] \ alpha + \ beta = \ frac {4} {3} [/ math] y [math] \ alpha \ beta = \ frac {k} {3} [/ math].

Estamos tratando con la suma de los cuadrados. Entonces, consideremos:

[matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + 2 \ alpha \ beta-2 \ alpha \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ alpha + \ beta) ^ 2-2 \ alpha \ beta [/ math]

[matemáticas] = \ frac {4} {3} ^ 2-2 \ frac {k} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {16-6k} {9} [/ matemáticas]

Sabemos que esta cantidad es igual a [matemáticas] 40 [/ matemáticas]. Entonces, simplemente los equiparamos.

[matemáticas] \ frac {16-6k} {9} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 16-6k = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 6k = -344 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k = – \ frac {172} {3} [/ matemáticas].

Ahí tienes!

Answer 4

Deje que las raíces de la ecuación anterior sean [matemáticas] \ alfa, \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ beta = \ dfrac {-b} {a} = \ dfrac {4} {3} | \ alpha \ beta = \ dfrac {c} {a} = \ dfrac {k} {3} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = (\ alpha + \ beta) ^ 2 -2 \ alpha \ beta = 40 (dado) [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ dfrac {4} {3}} ^ 2 – 2 \ dfrac {k} {3} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {16} {9} – \ dfrac {2k} {3} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {16-6k} {9} = 40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 16-6k = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -6k = 360-16 = 344 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica k = \ dfrac {344} {- 6} = – 57.33333 \ aprox -57.34 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica \ bbox [2pt, borde: 2pt # 10f discontinuo] {{\ bbox [#FFA] {\ boxed {k = -57.3333 \ approx -57.34}}}} [/ math]