Deje que [math] \ alpha + i \ beta: \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} [/ math], sea la raíz de la ecuación [math] x ^ 3 + qx + r = 0; q, r \ in \ mathbb {R} [/ math]. Encuentra la ecuación cúbica real, independiente de [matemáticas] \ alpha \, \, \ text {&} \, \, \ beta [/ math], ¿cuya raíz es [math] 2 \ alpha [/ math]?

Answer 1

Considere la ecuación dada con coeficientes reales, [matemática] \ alpha-i \ beta [/ matemática] también es su raíz. Suma de raíces de ecuación cúbica = 0 (coeff de x ^ 2 = 0). Entonces la tercera raíz es [matemática] -2 \ alpha [/ matemática]. Solo necesitamos una ecuación vubic con raíces negativas de las raíces de una ecuación dada, ya que ese será el único caso en que la ecuación cúbica no dependa de [math] \ alpha y \ beta [/ math]. Entonces, raíces = [matemáticas] – \ alpha-i \ beta, – \ alpha + i \ beta, 2 \ alpha [/ matemáticas].

Ecuación [matemática] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática]

a = 0, b = [matemáticas] (- \ alpha-i \ beta) (- \ alpha + i \ beta) +2 \ alpha (- \ alpha-i \ beta) +2 \ alpha (- \ alpha + i \ beta) = q [/ math] yc = [math] – (- \ alpha-i \ beta) (- \ alpha + i \ beta) (2 \ alpha) = – r [/ math].

Entonces la ecuación se convierte en [matemáticas] x ^ 3 + qx-r = 0 [/ matemáticas]