Cómo formar una ecuación cuadrática cuyos ceros y término constante se dan

Answer 1

Supongamos que [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​los ceros de la función cuadrática y [math] c [/ math] es el término constante, así que queremos encontrar la función [ matemática] f (x) = ax ^ {2} + bx + c [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​los términos desconocidos.

Solución truco

Como sabemos que [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​los ceros, entonces:

[matemáticas] f (x) = \ left (x – \ alpha \ right) \ left (x – \ beta \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow f (x) = x ^ {2} – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta [/ math]

Como, sabemos que queremos [math] c [/ math] como la constante, entonces:

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} \ left (x ^ {2} – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow f (x) = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} x ^ {2} – \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} (\ alpha + \ beta) x + c [/ matemáticas]

Buena solución

Queremos encontrar [matemáticas] f (x) = k (x – \ alpha) (x – \ beta) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] f (0) = c [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] k \ alpha \ beta = c \ Rightarrow k = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} [/ math]

Entonces, [matemáticas] f (x) = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} (x – \ alpha) (x – \ beta) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow f (x) = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} x ^ {2} – \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} (\ alpha + \ beta) x + c [/ matemáticas]

Otra solución

Sabemos que [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática] son ​​los ceros de [matemática] f (x) = ax ^ {2} + bx + c [/ matemática], entonces:

[matemáticas] a \ alpha ^ {2} + b \ alpha + c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ beta ^ {2} + b \ beta + c = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow a \ left (\ alpha ^ {2} – \ beta ^ {2} \ right) + b \ left (\ alpha – \ beta \ right) = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow a \ left (\ alpha + \ beta \ right) + b = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow b = -a \ left (\ alpha + \ beta \ right) [/ math]

Al conectar el valor de [math] b [/ math] a [math] a \ alpha ^ {2} + b \ alpha + c = 0 [/ math], obtenemos:

[matemáticas] a \ alpha ^ {2} -a \ left (\ alpha + \ beta \ right) \ alpha + c = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow -a \ alpha \ beta + c = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow a = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow b = – \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} \ left (\ alpha + \ beta \ right) [/ math]

Entonces,

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} x ^ {2} – \ dfrac {c} {\ alpha \ beta} \ left (\ alpha + \ beta \ right) x + c [/matemáticas]

Answer 2

Bueno, si se dan los ceros, entonces es suficiente para formar una ecuación cuadrática. Supongamos que los ceros son myn. Entonces la ecuación cuadrática será (xm) (xn) = 0

Ahora, si ves que el producto de las raíces .ie. mn no es igual al término constante. Luego haga lo anterior y luego divida o multiplique el coeficiente principal y el coeficiente lineal en consecuencia para obtener el término constante requerido.

Answer 3

Suponga que las raíces son [math] \ large \ displaystyle \ alpha [/ math] y [math] \ large \ displaystyle \ beta [/ math]

Luego, la ecuación cuadrática formada por estas raíces:

[matemáticas] \ large \ displaystyle x ^ 2 – (\ text {suma de raíces}) x + \ text {producto de raíces} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0} [/ math]

Para verificar :

[math] \ implica \ large \ displaystyle x ^ 2 – \ alpha x – \ beta x + \ alpha \ beta = 0 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle x (x – \ alpha) – \ beta (x – \ alpha) = 0 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle (x – \ alpha) (x – \ beta) = 0 [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle x = \ alpha [/ math] o [math] x = \ beta [/ math]