Cómo encontrar la ecuación de la línea recta que es tangente en un punto y normal en otro punto de la curva x = 3t ^ 2 e y = 2t ^ 3

Answer 1

Marco ya ha dado solución. Déjame seguir la misma notación.

Deje que [matemática] P (3p ^ 2,2p ^ 3) [/ matemática] y [matemática] Q (3q ^ 2,2q ^ 3) [/ matemática] sean los puntos donde la línea dibujada a través de ellos es tangente y normal a la curva respectivamente.

[matemáticas] x = 3t ^ 2; \ dfrac {dx} {dt} = 6t; [/matemáticas]

[matemáticas] y = 2t ^ 3 [/ matemáticas]; [matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = 6t ^ 2 [/ matemáticas]; [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {6t ^ 2} {6t} = t; [/matemáticas]

pendiente de la línea PQ [matemáticas] = \ dfrac {2q ^ 3–2p ^ 3} {3q ^ 2–3p ^ 2} = \ dfrac {2 (q ^ 2 + qp + p ^ 2)} {3 (q + p)} [/ matemáticas]

pendiente de línea = pendiente de tangente en P = p = pendiente de normal en Q [matemática] = \ dfrac {-1} {q} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] pq = -1 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] p = \ dfrac {2 (q ^ 2 + qp + p ^ 2)} {3 (q + p)} [/ matemáticas]

Sustituyendo [matemáticas] q = \ dfrac {-1} {p} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 4-p ^ 2–2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (p ^ 2–2) (p ^ 2 + 1) = 0 \ implica p ^ 2 = 2 \ implica p = \ pm \ sqrt 2; [/ matemáticas]

punto [matemáticas] P = (6, \ pm 4 \ sqrt 2) [/ matemáticas]

La ecuación de línea es [matemática] (y- \ pm 4 \ sqrt 2) = p (x-6) [/ matemática]

[matemáticas] (y- \ pm 4 \ sqrt 2) = \ pm \ sqrt 2 (x-6) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {y = \ pm \ sqrt 2 (x-2)} [/ matemáticas]

Answer 2

deja que la línea sea y = mx + c →

dy / dx = dx / dy = 1 / (dy / dx) →

(dy / dx) ² = 1

dy / dx = m = ± 1

dy / dx = {(dy / dt) / (dx / dt)} = (6t²) / (6t) = t →

t = ± 1

(x, y) = (3, ± 2)

y = ± x + c →

(i) y = x + c

2 = 3 + c → c = -1

(ii) y = -x + c →

2 = -3 + c → c = 5

La línea requerida es:

y = x-1 e y = -x + 5

Answer 3

Necesitamos saber la pendiente de la curva. Esto es dado por

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {dx} {dt}} = \ frac {6t ^ 2} {6t} = t [ /matemáticas]

Entonces, la pendiente de la curva en cualquier punto [matemática] t [/ matemática] es [matemática] t [/ matemática], que es un buen resultado.

Deje que la línea que estamos tratando de encontrar sea [math] y = mx + c [/ math]. Entonces la curva y la línea se encuentran donde

[matemáticas] 2t ^ 3 = 3mt ^ 2 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] t ^ 3- \ frac32 mt ^ 2- \ frac12 c = 0 \ tag1 [/ matemáticas]

Esta ecuación cúbica nos da tres soluciones que son buenas, ya que necesitaremos una para la línea normal de la curva y dos para la tangente (un punto tangente nos dará una raíz repetida). Resolver esta ecuación directamente es complicado, pero afortunadamente podemos ser más inteligentes que esto.

La pendiente de la línea es [matemática] m [/ matemática]. Por lo tanto, la pendiente de la línea en la raíz repetida también es [matemática] m [/ matemática] y este es el punto [matemática] t = m [/ matemática]. La pendiente de la curva en el otro punto es [matemática] – \ frac1m [/ matemática] (porque es normal a la línea) y, por lo tanto, la otra solución es [matemática] t = – \ frac1m [/ matemática].

Entonces la expresión cúbica debe ser idénticamente igual a

[matemáticas] ™ ^ 2 (t + \ frac1m) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (t ^ 2-2mt + m ^ 2) (t + \ frac1m) [/ matemáticas]

[matemáticas] = t ^ 3 + (\ frac1m-2m) t ^ 2 + (m ^ 2-2) t + m \ tag2 [/ matemáticas]

(1) y (2) representan la misma expresión para que podamos comparar coeficientes:

[matemáticas] – \ frac32 m = \ frac1m-2m [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = m ^ 2-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac12 c = m [/ matemáticas]

Que se combinan para dar [matemáticas] m = \ pm \ sqrt2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = m [/ matemáticas]. Entonces, finalmente, la ecuación de la línea es:

[matemáticas] y = \ pm \ sqrt2 (x + 1) [/ matemáticas]

Answer 4

La pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto [matemática] (3t ^ 2,2t ^ 3) [/ matemática] viene dada por

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = \ frac {6t ^ 2} {6t} = t \ end {align} \ tag {1} [/ math]

La ecuación del tangen a la curva en cualquier punto [matemática] P (3p ^ 2,2p ^ 3) [/ matemática] viene dada por

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle T: y-2p ^ 3 = p (x-3p ^ 2) \ Rightarrow {y = px-p ^ 3} \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

siendo [matemática] p [/ matemática] su pendiente por [matemática] (1) [/ matemática].

Ahora busquemos la ecuación de la normal a la curva en cualquier punto [matemática] Q (3q ^ 2,2q ^ 3) [/ matemática] (notando que la pendiente será [matemática] \ displaystyle – \ frac {\ mathrm {d } x} {\ mathrm {d} y} = – \ frac {1} {q} [/ math])

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle N: y-2q ^ 3 = – \ frac {1} {q} (x-3q ^ 2) \ Rightarrow {y = – \ frac {1} {q} x + 3q + 2q ^ 3} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora deberíamos encontrar un valor para el cual [matemática] N [/ matemática] y [matemática] T [/ matemática] coincidan, es decir, dos valores para [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} p = – \ frac {1} {q} \\ – p ^ 3 = 3q + 2q ^ 3 \ end {cases} \ end {align} \ tag *{}[/matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {1} {q ^ 3} = 3q + 2q ^ 3} \ Rightarrow {2q ^ 6 + 3q ^ 4-1 = 0} \ Rightarrow {(q ^ 2 + 1) ^ 2 (2q ^ 2-1) = 0} \ Rightarrow {q = \ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

Por lo tanto, las líneas [matemáticas] y = \ sqrt {2} x + 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] y = – \ sqrt {2} x-2 \ sqrt {2} [/ matemáticas] son nuestra respuesta