¿Cuál es la condición en la que las raíces de una ecuación cuadrática pueden ser de signos opuestos pero no necesitan ser numéricamente iguales?

Answer 1

Comenzaremos asumiendo que el coeficiente principal es 1 para que nuestra expresión cuadrática se vea como [math] x ^ 2 + bx + c [/ math].

Si las raíces de un cuadrático son r y s, entonces el cuadrático se puede factorizar como [matemáticas] (xr) (xs) [/ matemáticas]. Si expande este polinomio, obtiene [matemáticas] x ^ 2 + (r + s) x + rs [/ matemáticas], lo que significa que r y s tienen signos opuestos, entonces el término constante [matemáticas] rs [/ matemáticas] de El polinomio será negativo.

Si la raíz positiva es mayor en magnitud que la raíz negativa, entonces el coeficiente lineal [matemática] r + s [/ matemática] será positivo. Si la raíz negativa es mayor, entonces el coeficiente lineal será negativo.

Como parece que ya sabe, si las raíces positivas y negativas son iguales en magnitud, entonces el coeficiente lineal es cero y, por lo tanto, el término lineal no existe. Solo obtienes una diferencia de cuadrados.

Ahora, ¿qué pasa si retrocedemos y permitimos que el coeficiente principal sea algún otro número [math] a [/ math]. Si las matemáticas] a [/ matemáticas] son ​​positivas, entonces todo lo que he dicho aún funciona. El polinomio tendrá un término constante negativo.

Pero si [math] a [/ math] es negativo, una vez que lo distribuya verá que el polinomio tendrá un término constante positivo.

Answer 2

Según las fórmulas de Vieta, el producto de las raíces es igual a la razón del término independiente sobre el coeficiente cuadrático. Es suficiente que esta relación sea negativa, o equivalente [math] ac <0 [/ math]. Al mismo tiempo, esto asegura que [math] b ^ 2–4ac> 0 [/ math] y las raíces sean reales.

Answer 3

Podemos agrupar prácticamente todas las ecuaciones cuadráticas en 5 grupos principales.

• Ecuaciones con una raíz. (-Minnesota)

• Estos comienzan desde la forma [matemática] (nx + m) ^ 2 = 0. [/ Matemática]
• Siempre toman la forma [matemática] n ^ 2x ^ 2 + 2nmx + m ^ 2 = 0. [/ Matemática]
• Debido a los cuadrados, el primer término y el último término deben compartir el mismo signo.

Ecuaciones con dos raíces donde las raíces son negativas entre sí. (m / ny -m / n)

• Estos comienzan desde la forma [math] (nx + m) (nx-m) = 0 [/ math].
• Estos tomarán la forma [matemática] n ^ 2x-m ^ 2 = 0 [/ matemática].

Ecuaciones sin raíces reales.

• Estos, si están en la forma [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math], tendrán el determinante, [math] b ^ 2–4ac <0 [/ math], y esto hace que ambas raíces sean números complejos.

Ecuaciones con dos raíces con el mismo signo.

• Estos serán de la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], pero a y c siempre serán el mismo signo. Si a es negativo, c será negativo y si a es positivo, c será positivo.

Ecuaciones con dos raíces de signos diferentes.

• Estos tendrán la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] también, pero a y c tendrán signos diferentes.
• Como a y c tienen signos diferentes, [math] b ^ 2–4ac [/ math] siempre será mayor que 0, lo que significa que todas las ecuaciones de esa forma tienen soluciones reales cuando a y c tienen signos opuestos, independientemente del valor de b.
• Esto hace que las ecuaciones de la forma que busca sean fáciles de crear.

Answer 4

Si a es positivo yc es negativo, entonces ax² + bx + c factorizará como (x +) (x -) y tendrá raíces de signos opuestos. Se puede decir lo mismo si a es negativo y c es positivo. En general, si ac <0 habrá una raíz positiva y una raíz negativa.

Answer 5

ax² + bx + c = 0

αβ <0 → c / a <0 → c <0

ej. a = 3, c = -1 → 3x² + 2x-1 = (3x + 1) (x-1)

ej. a = 4, c = -3 → 4x²-x-3 = (4x + 3) (x-1)