Comenzamos tomando las ecuaciones de Hamilton
[matemáticas] \ dot {q} = \ frac {\ partial H} {\ partial p} = 2pq ^ 2, [/ math]
[matemáticas] \ dot {p} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q} = -2p ^ 2q. [/ math]
Notamos que el hamiltoniano es independiente del tiempo, por lo que debe ser una integral del movimiento, por lo tanto, [math] pq [/ math] permanece constante durante el movimiento; su valor absoluto permanece constante (esto es equivalente a la preservación del hamiltoniano) y si cambiara los signos, la continuidad del hamiltoniano significa que tendría que pasar por cero, lo que contradice la preservación. Lo primero que hay que tener en cuenta es que el movimiento está restringido a una sola rama de una hipérbola [math] pq = \ pm \ sqrt {H} [/ math].
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Ahora para obtener la solución completa: de la segunda ecuación de Hamilton expresamos
[matemáticas] q = – \ frac {\ dot {p}} {2p ^ 2}, [/ matemáticas]
(esto se hace para el caso de que durante todo el movimiento ni [math] p [/ math] ni [math] q [/ math] toman el valor 0) tomamos la derivada
[matemáticas] \ dot {q} = – \ frac {\ ddot {p} \ cdot p ^ 2 – 2p \ cdot \ dot {p} ^ 2} {2p ^ 4} [/ math]
y conecte el primero (junto con el enchufe para [math] q [/ math]) para obtener
[matemáticas] \ dot {p} ^ 2 – \ ddot {p} \ cdot p = 0. [/ matemáticas]
Ahora, esta es una ecuación cuya solución se puede adivinar muy fácilmente para que tenga la forma
[matemáticas] p \ left (t \ right) = k \ exp \ left (\ alpha t \ right). [/ math]
De esto, obtenemos
[matemáticas] q = – \ frac {\ dot {p}} {2p ^ 2} = – \ frac {\ alpha} {2k} \ exp \ left (- \ alpha t \ right). [/ math]
Al tomar las condiciones iniciales [matemáticas] p \ left (0 \ right) = p_0, q \ left (0 \ right) = q_0 [/ math] encontramos [math] k = p_0, \ alpha = -2q_0p_0 [/ math ]
Esto se hizo para el caso de que la trayectoria del espacio de fase no cruza ninguno de los ejes [matemática] p, q [/ matemática] – usando el hecho de que el Hamiltoniano es una integral del movimiento, sabemos que para no cero [ matemática] p_0 [/ matemática] y [matemática] q_0 [/ matemática] esto se cumple. Para uno de ellos cero, se puede ver fácilmente a partir de las ecuaciones de Hamilton que [matemática] p \ left (t \ right) = p_0, q \ left (t \ right) = q_0 [/ math] es una solución.
Esto significa que la solución puede escribirse en ambos casos como
[matemáticas] q \ left (t \ right) = q_0 \ exp \ left (2q_0p_0t \ right), [/ math]
[matemáticas] p \ left (t \ right) = p_0 \ exp \ left (-2q_0p_0t \ right). [/ math]