Si [matemáticas] \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdots}}}} = 3 [/ math], ¿qué es [math] x [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Piensa en ello de esta manera.

Si tiene [matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas], eso es [matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

Si tiene [matemática] \ sqrt {x * \ sqrt {x}} [/ matemática], eso es [matemática] \ sqrt {x * x ^ {\ frac {1} {2}}} = \ sqrt {x ^ {\ frac {3} {2}}} = (x ^ {\ frac {3} {2}}) ^ {^ {\ frac {1} {2}}} = x ^ {\ frac {3} { 4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {x * \ sqrt {x * \ sqrt {x}}} = \ sqrt {x * x ^ {\ frac {3} {4}}} = \ sqrt {x ^ {\ frac {7 } {4}}} = x ^ {\ frac {7} {8}} [/ math]

¿Ya estás viendo el patrón? Si calcula la función cuando tiene [matemática] n [/ matemática] niveles profundos (donde [matemática] \ sqrt {x} [/ matemática] es [matemática] n = 1 [/ matemática]), entonces obtiene [ matemáticas] f_n = x ^ {1- \ frac {1} {2 ^ n}} [/ matemáticas]

Su caso es para el límite cuando [math] n [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math].

En ese caso, [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas], lo que significa [matemáticas] \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] 0 [ / math], que significa [math] 1- \ frac {1} {2 ^ n} [/ math] se acerca a [math] 1 [/ math], lo que significa que [math] x ^ {1- \ frac {1 } {2 ^ n}} [/ math] se acerca a [math] x [/ math].

Entonces, si todo esto es [matemáticas] x [/ matemáticas] y también es [matemáticas] 3 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

EDITAR: al leer algunas otras respuestas, hay un método mucho más elegante que el mío:

Primero, establezca [matemáticas] S = \ sqrt {x * \ sqrt {x * \ sqrt {x * \ sqrt {x…}}}} = 3 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] S = \ sqrt {x * S} [/ matemáticas]

[matemáticas] S ^ 2 = x * S [/ matemáticas]

[matemáticas] S = x [/ matemáticas]

Pero recuerde, [matemáticas] S = 3 [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Esta es una forma mucho mejor de hacerlo.

Answer 2

Me gustaría proporcionar un método un poco más estándar para pensar sobre tales cosas.

Podemos reescribir [math] \ sqrt {x \ cdot \ sqrt {x \ cdot \ sqrt {x \ cdot \ ldots}}} [/ math] como [math] \ prod \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty } x ^ {1 \ sobre 2 ^ n}. [/matemáticas]

Proporciona mucha más intuición sobre cuál es este número.

[matemáticas] \ ldots = x ^ {\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} {1 \ over 2 ^ n}} = x ^ 1 [/ math]

Entonces, esencialmente la ecuación es solo [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

Answer 3

La expresión sería equivalente a:

[matemáticas] x ^ \ frac {1} {2} \ cdot x ^ \ frac {1} {4} \ cdot x ^ \ frac {1} {8} \ cdot… = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} +…} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 1 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

No afirmaré que es la única solución, pero ciertamente es una solución válida.

Answer 4

Sabemos,

[matemáticas] \ sqrt [a] {x \ cdot x ^ {1 / (a-1)}} = x ^ {1 / (a-1)} [/ matemáticas]

por lo tanto,

[matemáticas] \ sqrt [a] {x \ sqrt [a] {x \ sqrt [a] {x \ sqrt [a] {x \ sqrt [a] {\ cdots}}}}} = x ^ {1 / (a-1)} [/ matemáticas]

Poniendo [matemáticas] x = 3, a = 2 [/ matemáticas]

Obtenemos la respuesta como [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Gracias

Answer 5

Deje [math] y = \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdot \! \ sqrt {x \ cdots}}}} [/ math]. Entonces [math] y = \ sqrt {x \ cdot y} [/ math] y [math] y = 3 [/ math]. Entonces [matemáticas] 3 = \ sqrt {3x} [/ matemáticas]. Esto nos da [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

¡Ahora solo necesita verificar que [math] \ sqrt {3 \ cdot \! \ sqrt {3 \ cdot \! \ sqrt {3 \ cdot \! \ sqrt {3 \ cdots}}}} [/ math] realmente converge. Esto es bastante fácil de verificar.

Answer 6

Se puede ver que su expresión es equivalente a [math] \ sqrt {x \ cdot3} = 3 [/ math] sustituyendo la expresión completa en sí misma

Cuadrando ambos lados tenemos [math] x \ cdot3 = 9 [/ math], y luego dividimos por 3 para llegar a nuestra respuesta final de [math] x = 3 [/ math]

Answer 7

3)

Permítame colaborar:

Dado que este es un ‘radical’ infinito, realmente no sé cómo llamarlo, podemos usar el hecho de que tiene un patrón infinito y manipularlo para que tenga una expresión finita.

Si establecemos la expresión igual a una variable aleatoria s, entonces la expresión es equivalente a:

sqrt (x * s) = s, s ^ ​​2 = s * x, x = s.

O,

sqrt (x * sqrt (x * sqrt (x *…)))) = x.

Entonces, x es 3.

Answer 8

Bueno,

El primer término se puede escribir como x ^ (1/2)

El segundo se puede escribir como x ^ (1/2 * 1/2) = x ^ (1/4)

El tercero se puede escribir como x ^ (1/2 * 1/2 * 1/2) = x ^ (1/8)

Y así.

Entonces todo se puede escribir como:

x ^ (1/2) * x ^ (1/4) * x ^ (1/8)….

= x ^ (1/2 + 1/4 + 1/8 …)

Esa serie infinita es igual a 1.

Por lo tanto, esta expresión es igual a x

Y x = 3

Espero que haya ayudado!

Answer 9

Dado que [ x ^ (1/2)] [x ^ (1/4)] [x ^ (1/8)] [x ^ (1/16)]…. = 3 es equivalente a x ^ [Σ (1/2) ^ n] = 3, donde n es un número entero y 1 ≤ n ——> ∞. la serie infinita [Σ (1/2) ^ n] converge para proporcionar una suma = 1, de modo que x ^ 1 = x = 3.

Answer 10

Me gustan las respuestas que he visto, pero ¿qué pasa con algo como esto? Dejar:

[matemáticas] y = \ sqrt {x \ sqrt {x \ sqrt {x…}}} [/ matemáticas]

Luego :

[matemáticas] y ^ 2 = xy [/ matemáticas]

y,

[matemáticas] x = \ frac {y ^ 2} {y} [/ matemáticas]

Pero sabemos desde el principio que y = 3.

Por lo tanto:

[matemáticas] x = \ frac {3 ^ 2} {3} = 3 [/ matemáticas]

Answer 11

Simple ya que está en forma de radícula de raíz cuadrada infinita, el problema anterior se puede escribir como √3.x = 3. He escrito de esta manera porque la x dentro de la raíz cuadrada continúa indefinidamente. Ahora volviendo a nuestra ecuación simplificada √ 3.x = 3 al cuadrarlo obtenemos 3.x = 9 tan claramente x = 3. ¡Sorprende bien! En otras palabras, inferimos que la radícula infinita anterior convergería al valor 3 que es lo que obtuvimos. Espero que esté claro. Gracias de antemano

Answer 12

Espero que esto ayude. Esto lo enfrenté por primera vez en el libro de ejercicios de Late KCNAG.

Answer 13

Deje que sqrt (x) sea m

Entonces la ecuación se convierte, y = sqrt (x * y)

Y también y = 3

Entonces, 3 = sqrt (x * 3)

Por lo tanto, durante ambos lados, obtenemos

9 = x * 3

Por lo tanto, x = 3

Espero que puedas obtener mi respuesta. Si no, házmelo saber.

Answer 14

por la pregunta anterior sabemos que,

raíz x = 3 entonces,

raíz (x * 3) = 3

x * 3 = 3 sqr

x * 3 = 9

x = 3

Answer 15

deja que sea un

Encuadrelo

x * a = 9

a = 3

x * 3 = 9

x = 3

…