Sabemos que el volumen de la esfera es [matemática] V = \ dfrac {4 \ pi} {3} R ^ 3 [/ matemática]. Entonces, ¿cómo pruebo que [matemáticas] \ dfrac {dV} {V} = 3 \ dfrac {dR} {R} [/ matemáticas]?

Answer 1

Usted no Porque no es verdad. 🙂

Respuesta intuitiva: dV / V es un pequeño aumento relativo (por ejemplo, porcentaje, etc.) en el volumen, mientras que dR / R es un pequeño aumento relativo en el radio. Si esparce una pequeña capa de mantequilla de maní en su esfera, un poco de espesor, ¿cuánta mantequilla de maní necesita? El volumen de la mantequilla de maní es dV. Parece que la cantidad de mantequilla de maní es proporcional al área de superficie y el área es proporcional al cuadrado del radio, por lo que querrás terminar con algo, algo por el cuadrado del radio.

Respuesta de Mathy: para obtener dV, dR y demás, querrás obtener una derivada. Para tomar una derivada de una potencia de su variable independiente, mueva el exponente hacia abajo y disminuya el exponente en 1. Entonces, si [math] V = \ frac {4} {3} \ pi (R ^ 3) [/ math] , diferenciando ambos lados, tenemos [matemática] V / dV = \ frac {4} {3} \ pi (3 * R ^ 2) = 4 {\ pi} R ^ 2 [/ matemática]. Volteando sobre ambos lados, como lo ha hecho, obtiene [matemáticas] dV / V = ​​\ frac {3} {4 \ pi} (dR / (3 * R ^ 2)) = \ frac {1} {4 \ pi} (dR / R ^ 2) [/ matemáticas].

Answer 2

[matemáticas] V = \ dfrac {4} {3} \ pi R ^ 3 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Tomando [math] \ ln [/ math] ambos lados: –

[matemática] \ implica \ ln V = \ ln \ izquierda (\ dfrac {4 \ pi} {3} \ derecha) + 3 \ ln R [/ matemática]

[matemática] \ estrella [/ matemática] Diferenciar ambos lados con respecto a [matemática] R [/ matemática]: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {V} \ dfrac {dV} {dR} = 0 + \ dfrac {3} {R} [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {\ dfrac {dV} {V} = 3 \ dfrac {dR} {R}} [/ math]

Answer 3

V = 4/3 (pi) R ^ 3

Ahora diferenciando la expresión anterior obtenemos

dV / dR = 4 (pi) R ^ 2

= [ 3 [4/3 (pi) R ^ 3]] / R

= 3V / R

dV / dR = 3V / R

dV / V = ​​3dR / R

Answer 4

Primero diferencie la ecuación principal de V.

dV = 4πR ^ 2. Dr

Obtendrá el resultado en términos de dV y dR.

Divida la ecuación de dV por V en LHS mientras que el valor de V en RHS. Obtendrá el resultado requerido.

dV / V = ​​4πR ^ 2. dR / V [en RHS sustituye el valor de V]

Answer 5

Dado,

V = (4/3) πR ^ 3… (1)

Diferenciar wrt R

d V / d R = (4/3) π . 3R ^ 2 … (2)

Ahora de la ecuación 1, tenemos

V / R = (4/3) πR ^ 2 … (3)

Reorganizar la ecuación (2),

d V / d R = 3. (4/3) π R ^ 2 … (4)

Reemplazando los valores de eq (3) en eq (4),

d V / d R = 3 V / R,

=> d V / V = ​​3 d R / R. #demostrado

Answer 6

dV = (4π / 3) 3R ^ 2dR = 3 (V / R) dR

(dV / V) = 3 (dR / R)