¿Por qué solo hay dos o tres transformaciones rígidas en el espacio 3D?

Answer 1

Transformación rígida – Wikipedia

“A veces, las reflexiones se excluyen de la definición de una transformación rígida al imponer que la transformación también preserva la mano de las figuras en el espacio euclidiano (una reflexión no preservaría la mano; por ejemplo, transformaría una mano izquierda en una mano derecha). Para evitar la ambigüedad, esta clase más pequeña de transformaciones se conoce como transformaciones rígidas apropiadas (informalmente, también conocidas como roto-traducciones ). En general, cualquier transformación rígida adecuada puede descomponerse como una rotación seguida de una traducción, mientras que cualquier transformación rígida puede descomponerse como una rotación inadecuada seguida de una traducción (o como una secuencia de reflexiones) “.

Yo diría que no es intuitivo.

“Las transformaciones rígidas del plano R2, el espacio R3 o el espacio n-dimensional real Rn se denominan transformación euclidiana porque forman la base de la geometría euclidiana”.

El artículo se refiere a transformaciones en geometría euclidiana. Eso implicaría que hay más disponibles en geometría no euclidiana. Sabemos que el mundo real no es euclidiano.

Conjetura de geometría – Wikipedia

“En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una sola geometría a un espacio topológico completo. En cambio, la conjetura de la geometrización establece que cada múltiple múltiple cerrado puede descomponerse de manera canónica en piezas que tienen cada uno de los ocho tipos de estructura geométrica “.

Conjetura de Poincaré – Wikipedia

“El teorema se refiere a un espacio que localmente se ve como un espacio tridimensional ordinario pero está conectado, es de tamaño finito y carece de cualquier límite (un múltiple cerrado de 3). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio se puede ajustar continuamente a un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional ”.

Tantas matemáticas, tan poco tiempo.

Emmy Noether – Wikipedia

“Fue descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. [2] [3] Como una de las principales matemáticas de su tiempo, desarrolló las teorías de los anillos, los campos y las álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión entre la simetría y las leyes de conservación . ”

Yo diría que no es intuitivo.

Answer 2

Según el teorema de Mazur-Ulam, si tengo una transformación continua [matemática] R [/ matemática] que preserva las distancias entre puntos en cualquier espacio euclidiano [matemática] E [/ matemática], entonces [matemática] R [/ matemática] es afín ; es decir, para cualquiera de los dos puntos [matemática] x, y \ en E [/ matemática] y cualquier [matemática] 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemática], tenemos

[matemáticas] \ displaystyle R \ left ((1 – t) x + ty \ right) = (1 – t) R (x) + t R (y). [/ math]

Supongamos primero que [matemática] R [/ matemática] fija un punto [matemática] p [/ matemática] en el espacio 3D: tome ese punto como el origen e identifique todos los demás puntos con vectores del origen. Tomando [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] = p = 0 [/ matemáticas], obtenemos que

[matemáticas] \ displaystyle R (ty) = t R (y) [/ matemáticas],

para todos [math] 0 \ leq t \ leq 1 [/ math]. Por otro lado, tomando [math] t = 1 [/ math], obtenemos que

[matemáticas] \ displaystyle R (x + y) = R (x) + R (y) [/ matemáticas].

Podemos concluir, por lo tanto, que [matemática] R [/ matemática] es lineal (técnicamente, debe probar la primera condición para [matemática] t \ geq 1 [/ matemática] y [matemática] t <0 [/ matemática] , pero esto no es difícil de hacer manipulando las dos identidades dadas). Por lo tanto, pensamos en [math] R [/ math] como una matriz por la cual multiplicamos los vectores [math] v [/ math].

Si escribimos [math] d [/ math] para la función de distancia entre dos puntos, entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} d (v, 0) ^ 2 & = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 \\ & = v ^ T v \\ & = d (R (v), 0 ) \\ & = R (v) ^ TR (v) \\ & = v ^ T \ left (R ^ TR \ right) v \ end {align *}. [/ Math]

Un poco de álgebra lineal muestra que la identidad anterior puede mantenerse si y solo si [math] R ^ TR [/ math] es la matriz de identidad. A partir de esto, puede determinar que [math] R [/ math] es una matriz de rotación o una matriz de reflexión. (Tenga en cuenta que [matemáticas] \ det (R ^ TR) = \ det (R) ^ 2 = 1 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] \ det R = \ pm 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] R [/ math] es una matriz de rotación si [math] \ det R = 1 [/ math], y una matriz de reflexión si [math] \ det R = -1 [/ math].)

Si [math] R [/ math] no arregla un punto [math] p [/ math] en el espacio 3D, puede componerlo con una traducción para que lo haga. Concluimos que cualquier transformación rígida del espacio 3D es una composición de una traducción con una rotación o una reflexión.

Answer 3

Hay otros. Tome la composición de una rotación y una traslación a lo largo del eje de rotación. Obtienes una traslación rotativa que es una transformación rígida, pero no es una traslación, ni una rotación, ni una reflexión.

También puede componer una reflexión y una traducción a lo largo de una línea en el plano de la reflexión para obtener otro tipo de transformación rígida.

Puede componer una reflexión y una rotación sobre una línea perpendicular al plano de la reflexión.

Y hay inversiones puntuales. Arregla un punto. Envíe cada punto en el espacio al punto opuesto al punto fijo.

Hay otros.

La clasificación de las transformaciones rígidas en el espacio es más complicada de lo que puedas imaginar.