Usamos el siguiente teorema.
TEOREMA: Si la suma de dos ángulos opuestos en un cuadrilátero es [matemática] 180 ° [/ matemática], entonces es un cuadrilátero cíclico.
CONVERSO: Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico tienen una suma de [matemáticas] 180 °. [/ Matemáticas]
Ahora, deje que [math] \ angle AOB = \ theta [/ math] sea el ángulo original y deje que [math] \ angle PQR = \ phi [/ math] sea el segundo ángulo con sus brazos perpendiculares a los de [math] \ ángulo AOB. [/ matemáticas]
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Entonces, pueden surgir dos casos.
CASO-1: El ángulo [matemático] \ phi [/ matemático] se encuentra dentro de la sección del plano cortado por [matemático] \ theta. [/ Matemático]
Aquí, dado que los brazos de [math] \ theta [/ math] y [math] \ phi [/ math] son perpendiculares:
[matemática] \ angle ORQ = \ angle OPQ = 90 ° \ tag * {} [/ math]
Su suma es [matemática] 180 °, [/ matemática] por lo que el cuadrilátero [matemática] PQRO [/ matemática] es cíclico.
Por lo tanto, la suma del otro par de ángulos opuestos
[matemáticas] \ theta + \ phi = 180 ° \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Es decir, [math] \ theta [/ math] y [math] \ phi [/ math] son suplementarios.
CASO-2: El ángulo [matemático] \ phi [/ matemático] se encuentra fuera de la sección del plano cortado por [matemático] \ theta. [/ Matemático]
Aquí, siguiendo el mismo procedimiento, [math] PQRO [/ math] es cíclico.
Por lo tanto,
[matemáticas] \ angle POR + \ phi = 180 ° \ tag {1} [/ matemáticas]
Pero, dado que [math] \ angle POR [/ math] y [math] \ theta [/ math] forman un par lineal
[matemáticas] \ angle POR + \ theta = 180 ° \ tag {2} [/ matemáticas]
Ahora, restando [matemáticas] (2) [/ matemáticas] de [matemáticas] (1): [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi- \ theta = 0 ° \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi = \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]
Es decir, [math] \ phi [/ math] y [math] \ theta [/ math] son iguales .
[matemáticas] \ enorme {\ boxed {\ text {QED}}} \ tag * {} [/ math]