Las fórmulas para la coordenada xy la coordenada y del centroide, respectivamente, son:
[matemáticas] \ displaystyle \ bar {x} = \ dfrac {1} {A} \ int_a ^ b {xf (x) \, dx} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ bar {y} = \ dfrac {1} {A} \ int_a ^ b {\ frac {1} {2} (f (x)) ^ 2 \, dx} [/ math]
donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es el área de la región. Nuestra región es el área en forma de pétalo a continuación:
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Como solo necesitamos considerar la mitad positiva de [matemáticas] x = y ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] y = \ sqrt {x} [/ matemáticas].
Calculemos el área, [matemática] A [/ matemática], que es una integral simple (debe calcularla usted mismo):
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 {\ sqrt {x} -x ^ 2 \, dx} = \ dfrac {1} {3} [/ matemáticas]
A continuación, encontraremos [math] \ bar {x} [/ math] (nuevamente, calcule la integral usted mismo si desea verificarlo):
[matemáticas] \ displaystyle \ bar {x} = 3 \ int_0 ^ 1 {x (\ sqrt {x} -x ^ 2) \, dx} = \ dfrac {9} {20} = 0.45 [/ matemáticas]
Y [matemáticas] \ bar {y} [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ bar {y} = 3 \ int_0 ^ 1 {\ frac {1} {2} \ left ((\ sqrt {x}) ^ 2- (x ^ 2) ^ 2 \ right) \, dx} = \ dfrac {9} {20} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que para la integral anterior, no cuadramos la función completa que designa la región [matemáticas] (\ sqrt {x} -x ^ 2) [/ matemáticas], cuadramos cada parte por separado. Esto tiene que ver con la linealidad de la operación de integración, porque técnicamente deberíamos dividir la integral en dos integrales separadas.
Por lo tanto, nuestro centroide es [matemática] \ izquierda (\ dfrac {9} {20}, \ dfrac {9} {20} \ derecha) [/ matemática]. Esto tiene sentido lógico, ya que [matemática] 0.45 [/ matemática] está justo en el medio y la función es simétrica acerca de [matemática] y = x [/ matemática], por lo que tendría sentido que cada coordenada sea igual.