¿Cómo encuentras el área de un paralelogramo?
Considere y par de lados paralelos del paralelogramo. Deje que la longitud de estos lados sea m unidades (base).
Deje que la distancia entre los lados paralelos sea n unidades (altura).
Entonces, el área del paralelogramo es base x altura = mn unidades cuadradas.
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Tenemos [matemáticas] \ vec A = 3 \ hat \ imath + 4 \ hat \ jmath \ qquad y \ qquad \ vec B = -3 \ hat \ imath + 7 \ hat \ jmath [/ math]. Estos vectores representan los dos lados del paralelogramo.
Deje que [math] \ theta [/ math] sea el ángulo entre los dos vectores.
Entonces, la distancia entre los lados paralelos representados por [math] \ vec A [/ math] sería [math] \ vec B \ sin \ theta. [/ Math] En caso de que consideremos la distancia entre los lados paralelos representados por [math] ] \ vec B [/ math] entonces la distancia sería [math] \ vec A \ sin \ theta. [/ math]
En cualquier caso, el producto de la base y la altura sería [matemática] \ vec A \ vec B \ sin \ theta. [/ Matemática] Esto no es más que la magnitud del producto cruzado de los dos vectores.
Entonces, en nuestro caso, el área del paralelogramo sería 3 × 7 + 4 × 3 = 33 unidades cuadradas.
Otra forma de resolver este problema es la siguiente:
Las longitudes de los dos vectores son 5 y [math] \ sqrt (58) [/ math] y sus pendientes son 4/3 y -7/3 respectivamente.
Por lo tanto, el ángulo entre estos dos vectores es [matemática] \ arctan \ izquierda | \ frac {\ frac {4} {3} + \ frac {7} {3}} {1- \ frac {4} {3} \ frac {7} {3}} \ right | = \ arctan \ frac {33} {19} [/ math]
[matemáticas] \ implica \ quad \ sin \ theta = \ frac {33} {5 \ sqrt {58}} [/ matemáticas]
Por lo tanto, el área del paralelogramo = longitud x altura = [matemática] 5 \ veces \ sqrt {58} \ veces \ frac {33} {5 \ sqrt {58}} [/ matemática] = 33 unidades cuadradas