Es importante considerar primero el escalar Ricci. Pongo aquí un diagrama de una esfera bidimensional con radio [matemáticas] r [/ matemáticas]. Desde el polo se transporta un vector al ecuador y viceversa, de modo que el ángulo en [matemática] A [/ matemática] es [matemática] π / 2 [/ matemática] Ahora divida el ángulo entre el área de superficie de la región encerrada por el transporte paralelo Esto es [matemática] 1/8 [/ matemática] el área de la esfera [matemática] 4πr2 [/ matemática] El resultado es la curvatura de Ricci para la región [matemática] R = 1 / r2 [/ matemática] que es la Ricci curvatura escalar de la esfera. En general, para un transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle, la desviación en el ángulo de los vectores define la curvatura de Ricci como
[matemáticas] R = θA. [/ matemáticas]
En general, podemos pensar que el tensor de Ricci se debe a la desviación de la planitud de una métrica para que
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[matemática] gμν = ημν – 13Rμανβxαxβ + O (x3), [/ matemática]
donde [math] ημν [/ math] es la métrica para el espacio-tiempo plano. El elemento de volumen métrico es det (g) −−−−− √ [math] det (g) [/ math] o a menudo escrito como −g −−− √ [math] −g [/ math] y esto es entonces
[matemática] −g = (1 – 16Rαβxαxβ) −η. [/ matemática]
Esto significa que el tensor Ricci está asociado con el cambio del volumen de una región del espacio. Esto se compara con el tensor de Weyl que define un volumen que preserva el difeomorfismo. El tensor Ricci define entonces un flujo Ricci de la métrica
[matemáticas] dgijdt = −2Rij [/ matemáticas]
En cuatro dimensiones podemos pensar en esto como el flujo de una métrica espacial con respecto al tiempo. Esto también tiene conexiones con la estructura conforme.