Suponiendo que quisieras decir paralelo en vez de coplanar:
Me acabo de dar cuenta de esto, así que si tengo algo mal, házmelo saber. Escribí un pequeño código de Python para la fuerza bruta, pero para n = 8 toma alrededor de 4s, n = 9 toma alrededor de 30s y para n = 10 toma más de 4min. Supongo que el tiempo de ejecución continuará creciendo con O (8 ^ n), lo que hace que ya que hay 2 ^ n puntos en un n-hipercubo y cada cara tiene 4 de ellos.
Si miramos un cubo, hay 3 conjuntos de 2 caras que son paralelas. Para dimensiones superiores, el número de conjuntos son los números de triángulo y el número de caras por conjunto es la potencia de dos.
Esto tiene sentido si piensa construir los hipercubos comenzando con un punto y empujándolo hacia afuera en una dimensión para obtener una línea, luego un segundo para obtener un cuadrado, luego un tercero para obtener un cubo, y así sucesivamente.
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Si observa el número de puntos, se duplican cada vez que cada punto antiguo engendra uno nuevo que es el mismo, pero que pasa a la nueva dimensión.
Si observa el número de aristas paralelas, se duplican cada vez que dos. Los hipercubos tienen simetría, por lo que el número de bordes paralelos en una dirección será el mismo para todos. Si toma los bordes que conectan los puntos “antiguos” con los nuevos, son los únicos bordes que apuntan en la nueva dimensión y, por lo tanto, forman un conjunto paralelo. Su número es el mismo que el número de puntos para el hipercubo anterior.
Lo mismo ocurre con las caras, solo considerando un conjunto de líneas paralelas que se empujan hacia una nueva dimensión para formar cuadrados.
La parte del número del triángulo es más difícil de ver.
Toma un cubo. Hay 3 conjuntos de aristas paralelas: la longitud, la anchura y la altura. ¿Por qué son sus 3 sets? Debido a que son 3 dimensiones y son solo 3 direcciones, los bordes pueden apuntar.
Empujando ese cubo para hacer un hipercubo, cada conjunto de bordes paralelos se convierte en un conjunto de caras paralelas, dando n-1 o 3 conjuntos. Pero esto solo incluye el conjunto de caras paralelas que tienen un borde que se ejecuta en la nueva dimensión. Las caras que eran perpendiculares a la nueva dimensión todavía existen y no han cambiado, por lo que se conservan los conjuntos de caras paralelas del hipercubo anterior.
Entonces obtenemos la ecuación de que el número de conjuntos para un n-hipercubo es el número de conjuntos para un n-1 hipercubo + n-1. Sabemos que estamos comenzando 1 juego para un cuadrado, 3 juegos para un cubo, 6 para un hipercubo. Estos son los números triangulares.