Cómo calcular el área del sector de una elipse, que se basa en uno de los focos, no en el centro

Siempre puede sumar y restar algunos triángulos de las secciones basadas en el centro para obtener un sector basado en los focos.

Por ejemplo, mirando la imagen en la pregunta y la sección sombreada a la derecha. Agregue el triángulo con esquinas en el centro, los focos inferiores y el punto superior del arco de elipse que delimita la sección sombreada. Resta el triángulo con esquinas en el centro, los focos inferiores y el punto más bajo del arco de elipse que delimita la sección sombreada. Ahora tiene el área justa para la sección basada en el centro.

Esta área se puede encontrar primero estirando la elipse verticalmente en un círculo, usando la fórmula para la sección de un círculo y luego estirando el círculo nuevamente en una elipse. Dado que esta transformación es solo una escala vertical, el área solo cambia por el factor de estiramiento.

Simplemente combine todos estos (los triángulos de estiramiento y suma / resta) para convertir la búsqueda del área de un sector de una elipse basada en un enfoque en la búsqueda del área de un sector de un círculo.

(consejo: al estirar la elipse en el círculo y hacia atrás, las distancias verticales cambian, por lo que los ángulos de los límites del sector no se conservan. Las distancias horizontales se conservan, ya que el estiramiento es solo vertical).

La ecuación de la elipse en forma polar con el polo en un foco es [matemática] r = e (l + r \ cos (\ theta)) [/ matemática] donde [matemática] l [/ matemática] es la distancia desde el enfoque a la directriz y [matemáticas] e [/ matemáticas] es la excentricidad. Reordenando, [matemáticas] r = \ frac {el} {1-e \ cos (\ theta)} [/ matemáticas]. El área de un sector es [math] \ int {\ frac12r ^ 2d \ theta} [/ math].

Esta integral se puede encontrar directamente. Usé Wolfram Alpha ya que es complicado.

Si no sabe [matemáticas] l [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas], use las coordenadas cartesianas, [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = e ^ 2 (l + x) ^ 2 = e ^ 2 (l ^ 2 + x ^ 2 + 2lx) [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] (1-e ^ 2) x ^ 2 – 2e ^ 2lx + y ^ 2 = e ^ 2l ^ 2 [/ matemáticas ] Si completa el cuadrado para [matemáticas] x [/ matemáticas], entonces puede encontrar la relación entre [matemáticas] l [/ matemáticas], [matemáticas] e [/ matemáticas] y los ejes mayor y menor.