Intuitivamente, el área de un rectángulo es su longitud por su anchura. También se sabe que la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, el área del triángulo rectángulo formado por una diagonal y dos lados será la mitad de la longitud por la anchura, o la mitad de la altura por la base.
Suponga un círculo de radio r. Divida este círculo en varios componentes triangulares con un ángulo de avance infinitesimal. La base b de cada triángulo también será infinitesimal, ya que
b = x / r
Donde x es el ángulo de ataque del triángulo.
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Ahora asumiremos algunas cosas sobre cada triángulo:
• Cada triángulo será un triángulo isósceles de dos lados r y un lado b.
• Dado que x tiende a cero, los otros dos ángulos en el triángulo serán aproximadamente 90 °, ya que la suma de los ángulos será 180 ° y en un triángulo isósceles los dos ángulos base son iguales.
Obtendremos un polinomio de n lados anidado en dicho círculo, donde n tiende al infinito. El área de esta forma será casi el área del círculo, como fue demostrado empíricamente por Arquímedes. Más sobre esto más tarde.
Ahora, visualice la fijación de uno de esos triángulos, y despliegue el resto alrededor del centro, como un abanico, y fije la base de cada triángulo al piso, expandiendo un lado y contrayendo el otro de manera que el área permanezca igual. Este latido del círculo en la forma deseada puede parecer incorrecto o contraintuitivo, pero no lo es, porque, recuerde, los ángulos y las bases principales tienden a cero, por lo que este latido causará un error muy pequeño, si lo hay. Es una suposición justa, y es correcta, ya que esta prueba arroja el mismo resultado dado por el cálculo.
Obtenemos un triángulo rectángulo de altura r y base igual a la circunferencia del círculo supuesto. El área de esto y, por lo tanto, el área del círculo es la mitad del radio multiplicado por la circunferencia.
De vuelta al experimento realizado anteriormente. Arquímedes tomó un círculo, y en él dibujó polígonos con un número variable de lados, primero diez, luego veinte, y así sucesivamente, hasta que el número de lados fue tan grande que la forma se parecía a un círculo. Descubrió que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro era constante independientemente de su radio, y era aproximadamente 3. Experimentos recientes han encontrado que es aproximadamente 3.1416. Arquímedes llamó a esto constante π.
Esto, si la circunferencia es C y el radio r,
π = C / 2r
Entonces C = 2πr.
Resulta que C también es la longitud de la base del triángulo que obtuvimos contorsionando un círculo unos pocos arriba.
Por lo tanto, si el área del triángulo es A, entonces,
A = (C * r) / 2
= (2πr * r) / 2
Al cancelar el 2, obtenemos:
A = πr ^ 2
Que también es el área del círculo con la que comenzamos.
Por lo tanto, demostrado.
Espero que esto no sea demasiado confuso.
