Parece fascinante, ¿verdad? (Estas imágenes corresponden a los casos en que [matemática] n = 5,6, \ text {y} 7 [/ matemática] respectivamente).
Dado que el área superpuesta es demasiado difícil de determinar (las áreas superpuestas también tienen áreas superpuestas), pasamos a la extraña forma de sector en el borde del círculo grande.
Entonces nos enfocamos en la mitad de la forma de sector (ABC) aquí:
- ¿Cómo hace el trabajo la geometría de coordenadas?
- ¿Cómo interpretaría la expectativa de una variable aleatoria geométrica?
- ¿Cuál será el radio de curvatura en el punto inicial y más alto si el camino es una parábola?
- Si una línea recta perpendicular dibujada a través del origen forma un triángulo isósceles con la línea X + 3Y = 6, entonces, ¿cuál es el área del triángulo formado?
- ¿Cuántos McChickens pueden caber en un acre cuadrado (no apilados, todos planos, uno al lado del otro)?
[matemáticas] \ angle AOC = \ dfrac {\ pi} n \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {El área requerida es la de} AOC – \ text {área de} BO’C – \ text {área de} OO’B \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle [ABC] = \ frac 12 r ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} n \ right) – \ frac 12 \ left (\ frac r2 \ right) ^ 2 \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right) – \ frac 12 \ left (\ frac r2 \ right) ^ 2 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right) \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac 14 r ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} n – \ frac 12 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right) \ right) \ tag * {} [/matemáticas]
Entonces, el área general de la forma sin la forma sectorial sería
[matemáticas] \ displaystyle \ frac n2 r ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} n – \ frac 12 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right) \ right) \ tag * {} [ /matemáticas]
o
[matemáticas] \ displaystyle r ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} 2 – \ frac n4 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right) \ right) \ tag * {} [/ math]
La relación es
[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ frac {\ frac {\ pi} 2 + \ frac n4 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} n \ right)} {\ pi}} \ tag * {} [ /matemáticas]
Una breve explicación de por qué la relación de área tiende a 1 cuando n tiende a infinito.
Deje [math] n = \ dfrac 1 {\ alpha} [/ math], entonces la relación de área es:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {\ pi} 2 + \ frac 1 {4 \ alpha} \ sin (2 \ pi \ alpha)} {\ pi} \ tag * {} [/ math]
Tenga en cuenta que cuando [math] \ alpha \ to 0 [/ math], tenemos
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ frac {\ sin (2 \ pi \ alpha)} {4 \ alpha} & \ displaystyle = \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ left (\ frac {\ sin (2 \ pi \ alpha)} {2 \ pi \ alpha} \ right) \ left (\ frac {2 \ pi} 4 \ right) \\ \; & = 1 \ cdot \ dfrac {\ pi} 2 \\ \; & = \ dfrac {\ pi} 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces tenemos la relación de área que tiende a
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {\ pi} 2 + \ frac {\ pi} 2} {\ pi} = \ boxed {1} \ tag * {} [/ math]